਀㰀栀琀洀氀㸀 ਀㰀洀攀琀愀 栀琀琀瀀ⴀ攀焀甀椀瘀㴀∀挀漀渀琀攀渀琀ⴀ琀礀瀀攀∀ 挀漀渀琀攀渀琀㴀∀琀攀砀琀⼀栀琀洀氀㬀 挀栀愀爀猀攀琀㴀䤀匀伀ⴀ㠀㠀㔀㤀ⴀ㄀∀㸀 Convolution- versus Interference Integral, G. Heinz਀㰀洀攀琀愀 渀愀洀攀㴀∀愀甀琀栀漀爀∀ऀऀ挀漀渀琀攀渀琀㴀∀䜀攀爀搀 䠀攀椀渀稀∀㸀 ਀㰀氀椀渀欀 爀攀氀㴀∀猀栀漀爀琀挀甀琀 椀挀漀渀∀ 栀爀攀昀㴀∀⸀⸀⼀⸀⸀⼀昀愀瘀椀挀漀渀⸀椀挀漀∀㸀 ਀㰀洀攀琀愀 渀愀洀攀㴀∀氀愀渀最甀愀最攀∀ऀऀ挀漀渀琀攀渀琀㴀∀搀攀甀琀猀挀栀 ⠀最攀爀洀愀渀⤀∀㸀 ਀㰀洀攀琀愀 渀愀洀攀㴀∀搀愀琀攀⸀挀爀攀愀琀攀搀∀ऀ挀漀渀琀攀渀琀㴀∀㈀ ㄀㄀ⴀ 㠀ⴀ㄀㄀∀㸀 ਀㰀⼀栀攀愀搀㸀 ਀ ਀
਀㰀昀漀渀琀 昀愀挀攀㴀∀愀爀椀愀氀∀㸀 ਀ ਀㰀琀愀戀氀攀 戀漀爀搀攀爀㴀∀ ∀ 挀攀氀氀猀瀀愀挀椀渀最㴀  挀攀氀氀瀀愀搀搀椀渀最㴀㄀㸀 ਀㰀琀搀  挀漀氀猀瀀愀渀㴀∀㄀㄀∀㸀 ਀㰀℀ⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀ 吀攀砀琀戀攀最椀渀渀 ⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀⴀ㸀 ਀ ਀ ਀㰀戀爀㸀㰀戀爀㸀 (bitte Javascript einschalten)਀㰀戀爀㸀㰀瀀㸀㰀⼀瀀㸀㰀戀爀㸀 ਀䠀攀椀渀稀Ⰰ 䜀⸀㨀 䤀渀琀攀最爀愀琀椀渀最 匀礀猀琀攀洀ⴀ吀栀攀漀爀礀 椀渀琀漀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀挀攀 一攀琀眀漀爀欀猀 ⴀ 爀攀氀愀琀椀漀渀 戀攀琀眀攀攀渀 挀漀渀瘀漀氀甀琀椀漀渀 椀渀琀攀最爀愀氀 愀渀搀 椀渀琀攀爀昀攀爀攀渀挀攀 椀渀琀攀最爀愀氀⸀ 圀漀爀欀猀栀漀瀀 ∀䄀甀琀漀渀漀洀攀 匀礀猀琀攀洀攀∀Ⰰ 伀挀琀 ㌀  ⴀ 一漀瘀 ㌀Ⰰ ㈀ ㄀㄀Ⰰ 䜀爀愀渀 䌀愀洀瀀 搀攀 䴀愀爀Ⰰ 䄀瘀⸀ 䜀愀戀爀椀攀氀 䌀漀瘀愀猀 䄀氀攀洀愀渀礀 ㈀Ⰰ  㜀㄀㘀  䌀愀洀瀀 搀攀 䴀愀爀Ⰰ 䄀渀搀爀愀琀砀 ⠀䴀愀氀氀漀爀挀愀Ⰰ 匀瀀愀椀渀⤀⸀ 䌀漀渀昀攀爀攀渀挀攀 瀀愀瀀攀爀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⸀⸀⼀瀀愀瀀攀爀猀⼀㈀ ㄀㄀开瀀猀愀猀⸀瀀搀昀∀㸀⠀倀䐀䘀⤀㰀⼀愀㸀 ਀㰀戀爀㸀㰀瀀㸀㰀⼀瀀㸀㰀戀爀㸀 ਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㘀㔀䈀㄀∀㸀

Beziehungen zwischen Faltungs- und Interferenzintegral ਀愀氀猀 嘀攀爀戀椀渀搀甀渀最 稀眀椀猀挀栀攀渀 䠀爀攀渀 甀渀搀 匀攀栀攀渀

਀ ਀匀椀琀攀 氀漀挀愀琀椀漀渀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀栀琀琀瀀猀㨀⼀⼀眀眀眀⸀最栀攀椀渀稀⸀搀攀⼀瀀甀戀氀椀挀愀琀椀漀渀猀⼀愀渀椀洀愀琀椀漀渀猀⼀挀漀渀瘀漀氀甀琀椀漀渀⸀栀琀洀∀㸀 www.gheinz.de/publications/animations/convolution.htm਀㰀⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀椀㸀


਀ ਀ ਀㰀栀㌀㸀䔀椀渀昀ﰀ栀爀甀渀最㰀⼀栀㌀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Die Faltung (oder das Faltungsintegral) beschreibt die Verknüpfung zweier Funktionen, Ergebnis ist eine dritte Funktion:਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀挀⠀琀⤀ 㴀 愀⠀琀⤀ ⨀ 戀⠀琀⤀㬀

਀挀⠀琀⤀ 㴀 㰀猀甀戀㸀 㰀⼀猀甀戀㸀⬀㰢猀甀瀀㸀琀㰀⼀猀甀瀀㸀 愀⠀琀ⴀ쐀⤃ 戀⠀쐀⤃ 搀쐀
਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 In diskreter Form betrachten wir die Folge der Faltungssummen਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀挀⠀渀⤀ 㴀 ꌀ㰃猀甀戀㸀쐀㴃 㨀渀㰀⼀猀甀戀㸀 ⠀ 愀⠀渀ⴀ쐀⤃ 戀⠀쐀⤃ ⤀ ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Die hier benutzten Zeitfunktionen seien nur in dem uns interessierenden Bereich ungleich Null. Wir gehen davon aus, daß die Definitionsbereiche der Funktionen übereinstimmen.਀

਀圀椀攀 攀猀 昀ﰀ爀 搀椀攀 倀栀礀猀椀欀 甀渀搀攀渀欀戀愀爀 椀猀琀Ⰰ 漀栀渀攀 䴀愀�攀椀渀栀攀椀琀攀渀 稀甀 愀爀戀攀椀琀攀渀Ⰰ 猀漀 椀猀琀 攀猀 昀ﰀ爀 搀椀攀 䴀愀琀栀攀洀愀琀椀欀 甀渀搀攀渀欀戀愀爀Ⰰ 䴀愀�攀椀渀栀攀椀琀攀渀 稀甀 瘀攀爀眀攀渀搀攀渀⸀ 䴀愀渀 搀攀渀欀攀 愀渀 搀攀渀 匀愀琀稀 搀攀猀 倀礀琀栀愀最漀爀愀猀Ⰰ 搀攀爀 椀渀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀猀琀攀渀 䴀愀�猀礀猀琀攀洀攀渀 最攀渀甀琀稀琀 眀椀爀搀⸀ 

਀倀爀漀戀氀攀洀愀琀椀猀挀栀 眀椀爀搀 攀猀 搀愀渀渀Ⰰ 眀攀渀渀 攀椀渀攀 洀愀琀栀攀洀愀琀椀猀挀栀攀 䘀漀爀洀攀氀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀 戀攀琀爀愀挀栀琀攀琀 椀渀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀攀渀  䔀椀渀栀攀椀琀攀渀眀攀氀琀攀渀 最氀攀椀挀栀稀攀椀琀椀最 戀攀栀攀椀洀愀琀攀琀 椀猀琀㨀 䐀椀攀猀攀 䈀攀搀攀甀琀甀渀最 欀漀洀洀琀 搀攀爀 䘀愀氀琀甀渀最 愀甀猀 匀椀挀栀琀 搀攀爀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀攀 稀甀㨀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 椀猀琀 椀渀 刀愀甀洀 甀渀搀 娀攀椀琀 最氀攀椀挀栀稀攀椀琀椀最 愀渀最攀猀椀攀搀攀氀琀⸀ 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀攀 愀戀攀爀 瘀攀爀戀椀攀琀攀渀 最攀渀愀甀 搀椀攀猀攀 䔀椀最攀渀猀挀栀愀昀琀⸀ 䔀椀渀攀 一攀琀稀眀攀爀欀欀渀漀琀攀渀 欀愀渀渀 渀椀挀栀琀 瘀攀爀稀最攀爀渀Ⰰ 搀愀猀 欀愀渀渀 渀甀爀 攀椀渀 娀眀攀椀最 搀攀猀 一攀琀稀眀攀爀欀攀猀⸀ 䄀氀猀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀 椀猀琀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 昀漀氀最氀椀挀栀 欀攀椀渀攀 䔀氀攀洀攀渀琀愀爀漀瀀攀爀愀琀椀漀渀Ⰰ 猀椀攀 欀愀渀渀 渀甀爀 愀氀猀 一攀琀稀眀攀爀欀 椀渀 刀愀甀洀 甀渀搀 娀攀椀琀 搀愀爀最攀猀琀攀氀氀琀 眀攀爀搀攀渀⸀ 

਀䤀洀 䈀甀挀栀 ∀一攀甀爀漀渀愀氀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀攀渀∀ ⠀㄀㤀㤀㌀⤀ 昀椀渀搀攀渀 眀椀爀 愀戀猀琀爀愀栀椀攀爀琀攀 一攀爀瘀攀渀渀攀琀稀攀Ⰰ 搀椀攀 ∀䌀漀搀攀猀攀氀攀欀琀椀漀渀 洀椀琀 䰀愀甀昀稀攀椀琀氀攀椀琀甀渀最攀渀∀ 戀攀猀挀栀爀攀椀戀攀渀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⌀䌀漀搀攀猀攀氀攀欀琀椀漀渀∀㸀嬀㘀崀㰀⼀愀㸀⸀ Ideelle Basis sind Faltung und IIR-Filter als universelle Grundlage von Filterrealisierungen in integrierten Schaltkreisen. Leider sind die Ausführungen dort recht knapp. ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Was Laplace- und Fouriertransformation im Frequenzbereich leisten, leistet die Faltung im Zeitbereich. Unterstellen wir, ein Nervennetz hat keinen FFT-Prozessor, kann es Code-Selektionsleistungen ("Hören") nur im Zeitbereich erbringen auf Basis der Faltung mit inherenten (in der Strukturierung des Nervennetzes liegenden) Übertragungsfunktionen.਀䐀愀 愀渀稀甀渀攀栀洀攀渀 椀猀琀Ⰰ 搀愀� 搀椀攀 攀渀漀爀洀攀渀 䰀攀椀猀琀甀渀最攀渀 甀渀猀攀爀攀猀 䠀爀猀礀猀琀攀洀猀 愀甀昀 攀戀攀渀搀椀攀猀攀 䘀椀氀琀攀爀猀琀爀甀欀琀甀爀攀渀 稀甀爀ﰀ挀欀最攀栀攀渀Ⰰ 攀爀猀挀栀攀椀渀琀 攀猀 椀渀琀攀爀攀猀猀愀渀琀Ⰰ 䴀最氀椀挀栀欀攀椀琀攀渀 搀攀爀 䘀愀氀琀甀渀最 椀洀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀 攀琀眀愀猀 渀栀攀爀 稀甀 戀攀氀攀甀挀栀琀攀渀⸀  ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀栀椀猀琀㸀㰀⼀愀㸀

Zur Historie des Faltungsbegriffs

਀

਀䐀攀爀 䈀攀最爀椀昀昀 ∀䘀愀氀琀甀渀最∀ 最攀栀琀 稀甀爀ﰀ挀欀 愀甀昀 搀椀攀 椀洀 攀爀猀琀攀渀 䄀爀戀攀椀琀猀猀挀栀爀椀琀琀 攀爀昀漀爀搀攀爀氀椀挀栀攀 匀瀀椀攀最攀氀甀渀最 攀椀渀攀爀 攀爀猀琀攀渀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 愀渀 搀攀爀 一甀氀氀愀挀栀猀攀 ⠀㰀椀㸀ⴀ쐀㰃⼀椀㸀⤀⸀ 䐀椀攀 伀瀀攀爀愀琀椀漀渀 猀琀攀氀氀琀 攀椀渀攀 瘀攀爀愀氀氀最攀洀攀椀渀攀爀琀攀 䴀甀氀琀椀瀀氀椀欀愀琀椀漀渀 瀀愀爀愀氀氀攀氀 氀椀攀最攀渀搀攀爀 甀渀搀 最攀最攀渀攀椀渀愀渀搀攀爀 氀愀甀昀攀渀搀攀爀 嘀攀欀琀漀爀攀渀 搀愀爀⸀ 䴀椀琀 搀攀爀 䘀愀氀琀甀渀最 攀椀渀攀猀 倀愀瀀椀攀爀戀氀愀琀琀猀 最攀氀椀渀最琀 攀猀Ⰰ 攀椀渀攀渀 嘀攀欀琀漀爀 甀洀稀甀欀攀栀爀攀渀 甀渀搀 搀愀洀椀琀 搀椀攀 嘀攀欀琀漀爀攀渀 最攀最攀渀攀椀渀愀渀搀攀爀 稀甀 昀ﰀ栀爀攀渀Ⰰ 甀洀 匀挀栀爀椀琀琀 昀ﰀ爀 匀挀栀爀椀琀琀  最攀最攀渀氀甀昀椀最攀 倀愀爀琀椀愀氀瀀爀漀搀甀欀琀攀 稀甀 攀爀栀愀氀琀攀渀⸀ 䤀渀栀愀氀琀氀椀挀栀 椀猀琀 搀椀攀 䤀搀攀攀 漀昀昀攀渀戀愀爀 猀攀栀爀 愀氀琀Ⰰ 搀攀爀 一愀洀攀 欀愀洀 椀渀搀攀猀 猀瀀琀⸀ 䌀愀甀挀栀礀 甀渀琀攀爀猀甀挀栀琀 倀爀漀搀甀欀琀攀 甀渀攀渀搀氀椀挀栀攀爀 刀攀椀栀攀渀⸀ 嘀椀琀漀 嘀漀氀琀攀爀爀愀 甀渀琀攀爀猀甀挀栀琀 ㄀㤀㄀㌀ 䔀椀最攀渀猀挀栀愀昀琀攀渀 瀀攀爀洀甀琀椀攀爀戀愀爀攀爀 䘀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 ∀昀漀渀挀琀椀漀渀猀 瀀攀爀洀甀琀愀戀氀攀猀∀Ⰰ  [1] S.148 ff., die wir heute als Faltungsintegrale bezeichnen würden. Er kommt übrigens von einer symmetrischen Form der permutierbaren Funktionen auf die heute übliche, unsymmetrische Darstellung im Bereich (0....t).਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 In der heute gebräuchlichen Weise taucht der Begriff nach meinen Recherchen zuerst bei Bernstein 1920 [2] S.817 auf. ਀䜀甀猀琀愀瘀 䐀漀攀琀猀挀栀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⌀䐀漀攀琀猀挀栀∀㸀嬀㌀崀㰀⼀愀㸀 ﰀ戀攀爀渀椀洀洀琀 甀渀搀 瘀攀爀戀爀攀椀琀攀琀 搀椀攀 ∀䘀愀氀琀甀渀最∀ 愀戀 ㄀㤀㈀㌀ 眀攀氀琀眀攀椀琀⸀ 一愀挀栀 搀攀洀 稀眀攀椀琀攀渀 圀攀氀琀欀爀椀攀最 最攀戀爀愀甀挀栀琀 洀愀渀 昀漀爀琀猀挀栀爀攀椀琀攀渀搀 搀攀渀 䈀攀最爀椀昀昀 ∀䌀漀渀瘀漀氀甀琀椀漀渀∀⸀  Inhaltlich sollen permutierbare Funktionen nach Wolfersdorf [4] "seit Poissons Memoir über die Bewegung von Wellen 1818" bekannt sein. Meine Durchsicht der Wellentheorie Poissons wie auch seiner Variation der Konstanten in ਀㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⌀倀漀椀猀猀漀渀∀㸀嬀㔀崀㰀⼀愀㸀 氀�琀 欀攀椀渀攀渀 猀漀氀挀栀攀渀 匀挀栀氀甀� 稀甀Ⰰ 洀最氀椀挀栀攀爀眀攀椀猀攀 猀椀渀搀 搀椀攀 䄀渀猀琀稀攀 稀甀 瘀攀爀猀琀攀挀欀琀Ⰰ 甀洀 猀漀昀漀爀琀 攀渀琀搀攀挀欀琀 稀甀 眀攀爀搀攀渀⸀ 

਀圀甀渀猀挀栀  [7] weist auf die Bedeutung der Faltung zur Ausbildung der Operatorenrechnung zeitlich zwischen Heaviside und Mikusinski hin. So wird z.B. aus der Faltung mit einer Sprungfunktion der Integrationsoperator Mikusinski's. Wenn die Systemtheorie heute in Fragen der Stabilitätsanalyse von Netzwerken bei Küpfmüllers Vierpolen und Spice-artigen Netzwerksimulationen steht, dann läßt sich erahnen, wieviel unendlich kühne Vision noch gefordert ist, ehe wir eines Tages die Stabilität oder (krankhafte) Instabilität in der Evolution großer, neuronaler Netze (Gehirn) aus Milliarden von Knoten und Zweigen verstehen werden.਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Während Faltung über die mathematische Systemtheorie und die (digitale) Signalverarbeitung das "Hören" dominiert, ist "Sehen" an Interferenznetzwerke und Interferenzintegrale gekoppelt. Interferenzintegrale können all das beschreiben, was als sog. Bildgebung zwischen Retina und Cortex, zwischen Retina und Umgebung, was bei Fernrohr, Radar oder Sonar abläuft. Erster Demonstrator der Interferenzintegrale war mit akustischen Bildern und Filmen die ਀㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⸀⸀⼀瀀愀瀀攀爀猀⼀㈀  㜀开䐀䄀䜀䄀开刀攀欀漀⸀瀀搀昀∀㸀愀欀甀猀琀椀猀挀栀攀 䬀愀洀攀爀愀㰀⼀愀㸀⸀ 䔀椀渀攀 匀挀栀氀ﰀ猀猀攀氀爀漀氀氀攀 猀瀀椀攀氀琀 戀攀椀 椀栀爀 搀椀攀 䴀最氀椀挀栀欀攀椀琀 搀攀爀 䈀椀氀搀ⴀ刀攀欀漀渀猀琀爀甀欀琀椀漀渀 搀甀爀挀栀 娀攀椀琀甀洀欀攀栀爀 ⠀嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀椀渀瘀攀爀猀椀漀渀⤀Ⰰ 猀椀攀栀攀  [9], Bild 13, ਀栀椀攀爀 眀甀爀搀攀 攀爀猀琀洀愀氀猀 攀爀欀攀渀渀戀愀爀Ⰰ 搀愀� 瘀椀爀琀甀攀氀氀攀Ⰰ 爀攀挀栀渀攀爀椀洀瀀氀攀洀攀渀琀椀攀爀琀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀攀 渀漀挀栀 洀攀栀爀 氀攀椀猀琀攀渀 欀渀渀攀渀Ⰰ 愀氀猀 䤀栀爀攀 渀愀琀ﰀ爀氀椀挀栀攀渀 嘀攀爀眀愀渀搀琀攀渀 ⠀一攀爀瘀攀渀渀攀琀稀攀⤀⸀ 䐀甀爀挀栀 嘀攀爀洀攀椀搀甀渀最 瘀漀渀 �戀攀爀戀攀猀琀椀洀洀琀栀攀椀琀 最攀氀椀渀最琀 攀猀Ⰰ 攀椀渀攀渀 戀攀氀椀攀戀椀最 最爀漀�攀渀 혀昀昀渀甀渀最猀眀椀渀欀攀氀 ⠀䄀瀀攀爀琀甀爀⤀ 搀攀爀 愀欀甀猀琀椀猀挀栀攀渀 䬀愀洀攀爀愀 稀甀 攀爀爀攀椀挀栀攀渀⸀

਀䤀洀 䄀甀昀猀愀琀稀 猀漀氀氀 瘀攀爀猀甀挀栀琀 眀攀爀搀攀渀Ⰰ 搀攀渀 娀甀猀愀洀洀攀渀栀愀渀最 稀眀椀猀挀栀攀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀ⴀ 甀渀搀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀攀渀 稀甀 戀攀氀攀甀挀栀琀攀渀⸀

਀ ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀昀愀氀琀攀㸀㰀⼀愀㸀

Faltung im Interferenznetzwerk (IN)

਀ ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Wir wollen uns hier mit einer spezifischen Anordnung eines Interferenznetzwerkes beschäftigen, welches eine Grundlage aller Systemtheorie darstellt. Die Kraft dieses winzigen Interferenznetzes, Zeitfunktionen umzuwandeln, ist gut erforscht. Insofern mag dieses kleine Netz, das im Nervensystem mit wenigen Neuronen darstellbar ist, eine Ahnung von der gigantischen Leistungsfähigkeit nervlicher Netze geben.਀

਀䔀渀琀最攀最攀渀 攀椀渀攀爀 氀愀渀搀氀甀昀椀最攀渀 䄀渀渀愀栀洀攀Ⰰ 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 愀爀戀攀椀琀攀 渀甀爀 椀洀 娀攀椀琀戀攀爀攀椀挀栀Ⰰ 椀猀琀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 ⠀搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀猀甀洀洀攀Ⰰ 戀稀眀⸀ 搀愀猀 䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀⤀ 愀甀猀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀爀 匀椀挀栀琀 ⴀ 搀⸀栀⸀ 戀攀椀 䔀椀渀昀ﰀ栀爀甀渀最 攀椀渀攀爀 䰀攀椀琀最攀猀挀栀眀椀渀搀椀最欀攀椀琀 ⴀ 椀渀 娀攀椀琀 甀渀搀 刀愀甀洀 稀甀最氀攀椀挀栀 愀渀稀甀猀椀攀搀攀氀渀⸀ 䐀椀攀 一攀琀稀眀攀爀欀ⴀ䤀洀瀀氀攀洀攀渀琀椀攀爀甀渀最 ⠀搀攀爀 一漀爀洀愀氀昀漀爀洀⤀ 搀攀爀 䘀愀氀琀甀渀最Ⰰ 搀愀猀 猀漀最⸀ 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀栀琀琀瀀㨀⼀⼀攀渀⸀眀椀欀椀瀀攀搀椀愀⸀漀爀最⼀眀椀欀椀⼀䘀椀渀椀琀攀开椀洀瀀甀氀猀攀开爀攀猀瀀漀渀猀攀∀㸀䘀䤀刀ⴀ䘀椀氀琀攀爀㰀⼀愀㸀 ⠀䘀椀渀椀琀攀 䤀洀瀀甀氀猀攀 刀攀猀瀀漀渀猀攀⤀Ⰰ 欀愀渀渀 愀甀猀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀爀 匀椀挀栀琀 瘀漀爀稀ﰀ最氀椀挀栀 愀氀猀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀 甀渀琀攀爀猀甀挀栀琀 眀攀爀搀攀渀⸀   ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Sind Leitgeschwindigkeiten der Signale in einem System nicht vernachlässigbar, betreten wir das Gebiet der Interferenznetzwerke (IN), der Netzwerke zwischen Zeit und Raum. Wie die Verzögerungsglieder in Bild 1 zeigen, ist diese Annahme gerechtfertigt.਀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀攀 猀椀渀搀 猀琀爀攀渀最 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀 稀甀 戀攀琀爀愀挀栀琀攀渀⸀ 圀攀最攀 甀渀搀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀稀攀椀琀攀渀 猀椀渀搀 娀眀攀椀最攀渀 稀甀最攀漀爀搀渀攀琀Ⰰ 攀椀渀 䬀渀漀琀攀渀 搀愀爀昀 渀甀爀 攀椀渀攀 攀椀渀稀椀最攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀Ⰰ 渀椀挀栀琀 愀戀攀爀 洀攀栀爀攀爀攀Ⰰ 漀搀攀爀 稀甀攀椀渀愀渀搀攀爀 瘀攀爀稀最攀爀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 琀爀愀最攀渀⸀ 圀椀爀搀 攀椀渀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 瘀攀爀稀最攀爀琀Ⰰ 椀猀琀 搀愀昀ﰀ爀 攀椀渀 娀眀攀椀最 甀渀搀 攀椀渀 渀攀甀攀爀 䬀渀漀琀攀渀 稀甀 戀椀氀搀攀渀⸀ 

਀

਀㰀椀洀最 猀爀挀㴀∀昀愀氀琀甀渀最开渀漀搀攀猀⸀最椀昀∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㘀  ∀㸀
Bild 1: FIR-Filter mit zwei Vektoren f[n] und s(m). ਀㰀⼀戀㸀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀

਀ In Nervennetzen sind Strukturen [6] zu erahnen, die FIR-Filtern ähneln. Wir wollen der Frage nachgehen, wie solche Filter aus physikalischer Sicht analysierbar sind, und hinterfragen, wie diese in das mathematische Fundament der Systemtheorie passen. Wie sieht also eine Faltung aus physikalischer Sicht aus?਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀伀戀眀漀栀氀 䘀愀氀琀甀渀最猀渀攀琀稀眀攀爀欀攀 渀攀爀瘀氀椀挀栀攀爀 䄀爀琀 椀渀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⌀䌀漀搀攀猀攀氀攀欀琀椀漀渀∀㸀嬀㘀崀㰀⼀愀㸀 戀攀爀攀椀琀猀 攀椀渀最攀昀ﰀ栀爀琀 甀渀搀 攀洀瀀椀爀椀猀挀栀 挀栀愀爀愀欀琀攀爀椀猀椀攀爀琀 眀甀爀搀攀渀Ⰰ 攀渀琀稀漀最 猀椀挀栀 搀攀爀 洀愀琀栀攀洀愀琀椀猀挀栀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀戀攀最爀椀昀昀 戀椀猀氀愀渀最 洀攀栀爀 漀搀攀爀 洀椀渀搀攀爀 搀攀洀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀渀Ⰰ 猀漀氀氀 栀攀椀�攀渀 搀攀洀 椀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀攀氀氀攀渀 娀甀最愀渀最⸀ 䤀渀 洀椀爀 眀愀爀 猀攀椀琀 ㄀㤀㤀㌀ 搀椀攀 䠀漀昀昀渀甀渀最Ⰰ 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 搀漀挀栀 渀漀挀栀 愀氀猀 䔀氀攀洀攀渀琀愀爀漀瀀攀爀愀琀椀漀渀 椀渀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀攀渀 攀渀琀搀攀挀欀攀渀 稀甀 欀渀渀攀渀⸀ 䄀戀攀爀 椀爀最攀渀搀眀愀渀渀 欀愀洀 搀椀攀 䔀爀欀攀渀渀琀渀椀猀Ⰰ 搀愀� 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀漀瀀攀爀愀琀椀漀渀 㰀椀㸀欀攀椀渀攀 椀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀攀氀氀攀 䔀氀攀洀攀渀琀愀爀漀瀀攀爀愀琀椀漀渀 搀愀爀猀琀攀氀氀攀渀 欀愀渀渀㰀⼀椀㸀⸀ 圀椀爀 眀漀氀氀攀渀 栀椀攀爀 椀渀猀戀攀猀漀渀搀攀爀攀 搀椀攀猀攀爀 䘀爀愀最攀 渀愀挀栀最攀栀攀渀⸀  

਀ Sehen wir uns dazu ein physikalisch realisiertes FIR-Filter als Prototyp des Faltungsoperators an, Bild 2. Verzögerungen können in IN nur Zweige leisten. Die Verzögerungskette im Eingang eines FIR ist folglich als einzelner Netzwerkknoten nicht darstellbar. Ein FIR-Filter (ein Faltungsfilter) oder eine Faltung schlechthin, ist nur als interferenzielles Netzwerk (IN), nicht aber als einzelner Knoten (Node) umzusetzen. Verzögerungen τi zwischen Netzwerkknoten assoziieren über Leitgeschwindigkeiten vi mit Abständen ਀㰀椀㸀爀㰀猀甀戀㸀椀㰀⼀猀甀戀㸀 㴀 瘀㰀猀甀戀㸀椀㰀⼀猀甀戀㸀쐀㰃猀甀戀㸀椀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 ⸀ 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最攀渀 㰀椀㸀쐀㰃猀甀戀㸀椀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 猀椀渀搀 椀⸀愀⸀ ⴀ 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀 戀攀琀爀愀挀栀琀攀琀 ⴀ 瘀漀渀攀椀渀愀渀搀攀爀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀⸀ 

਀

਀㰀椀洀最 猀爀挀㴀∀昀愀氀琀甀渀最开瀀栀礀猀⸀最椀昀∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㘀  ∀㸀
Bild 2: Physikalisches Analogon zur Faltung einer Zeitfunktion x(t) mit Zeitfunktionen si(t). ਀㰀⼀戀㸀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀

਀ ਀䴀愀渀 戀攀愀挀栀琀攀Ⰰ 搀愀� 搀攀爀 䔀爀最攀戀渀椀猀ⴀ匀甀洀洀攀渀欀渀漀琀攀渀 昀ﰀ爀 㰀椀㸀礀⠀琀⤀㰀⼀椀㸀 愀戀攀爀 猀攀栀爀 眀漀栀氀 愀氀猀 攀椀渀稀攀氀渀攀爀 䬀渀漀琀攀渀 椀渀 攀椀渀攀洀 䤀一 搀愀爀猀琀攀氀氀戀愀爀 椀猀琀Ⰰ 搀愀 攀爀 欀攀椀渀攀 椀渀琀攀爀渀攀渀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最攀渀 戀攀猀椀琀稀琀⸀

਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀氀攀椀搀㸀㰀⼀愀㸀 Leitgeschwindigkeit਀ ਀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Breitet sich ein Signal mit definierter Leitgeschwindigkeit v zwischen zwei Knoten aus, ਀欀漀洀洀攀渀 娀攀椀琀 甀渀搀 刀愀甀洀 椀渀 椀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀攀氀氀攀渀 娀甀猀愀洀洀攀渀栀愀渀最⸀ 䔀椀渀攀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀稀攀椀琀 㰀椀㸀쐀㰃⼀椀㸀  zwischen zwei Knoten ist in linearer Näherung abhängig vom Abstand r mit਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀椀㸀쐀 㴀 爀 ⼀ 瘀㰀⼀椀㸀⸀ 

਀ Übertragen in die diskrete Darstellung folgt ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀椀㸀吀 㴀 쐀⼃搀琀 㴀 爀⼀瘀 ⼀搀琀 㴀 刀⼀嘀㰀⼀椀㸀⸀

਀ wenn dv = dr / dt die differentielle Geschwindigkeit, R = r/dr den normierten Abstand ਀甀渀搀 㰀椀㸀嘀 㴀 瘀⼀搀瘀㰀⼀椀㸀 搀椀攀 渀漀爀洀椀攀爀琀攀 䜀攀猀挀栀眀椀渀搀椀最欀攀椀琀 搀愀爀猀琀攀氀氀琀⸀  ਀㰀⼀瀀㸀 ਀ ਀ ਀㰀栀㌀㸀䘀愀氀琀甀渀最Ⰰ 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀㰀⼀栀㌀㸀 ਀

਀䈀攀琀爀愀挀栀琀攀渀 眀椀爀 攀椀渀攀 匀挀栀愀氀琀甀渀最 栀渀氀椀挀栀 攀椀渀攀洀 䘀愀氀琀甀渀最猀昀椀氀琀攀爀 ⠀䈀椀氀搀 ㈀⤀ 愀氀猀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀⸀ 娀甀渀挀栀猀琀 眀漀氀氀攀渀 眀椀爀 最攀猀琀愀琀琀攀渀Ⰰ 搀愀� 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀 㰀椀㸀猀㰀猀甀戀㸀椀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 搀攀渀 䌀栀愀爀愀欀琀攀爀 瘀漀渀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 栀愀戀攀渀 ⠀愀氀氀最攀洀攀椀渀攀爀 䘀愀氀氀⤀⸀

਀

਀㰀椀洀最 猀爀挀㴀∀昀愀氀琀甀渀最猀戀猀瀀开瀀栀礀猀⸀最椀昀∀ 眀椀搀琀栀㴀∀㐀  ∀㸀 ਀㰀戀爀㸀㰀戀㸀䈀椀氀搀 ㌀㨀 倀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀猀 䘀䤀刀ⴀ䘀椀氀琀攀爀 洀椀琀 搀爀攀椀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀 愀氀猀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀 
਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀圀椀爀 欀渀渀攀渀 愀甀猀 搀攀洀 䈀椀氀搀 愀戀氀攀猀攀渀㨀

਀㰀椀㸀 y1(t) = s1(t) f3(t)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 y2(t) = s2(t) f2(t)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 y3(t) = s3(t) f1(t)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀
਀昀㌀⠀琀⤀ 㴀 砀⠀琀 ⴀ 쐀㄃⤀

਀昀㈀⠀琀⤀ 㴀 昀㌀⠀琀 ⴀ 쐀㈃⤀ 㴀 砀⠀琀 ⴀ 쐀㄃ ⴀ 쐀㈃⤀

਀昀㄀⠀琀⤀ 㴀 昀㈀⠀琀 ⴀ 쐀㌃⤀ 㴀 昀㌀⠀琀 ⴀ 쐀㈃ ⴀ 쐀㌃⤀ 㴀 砀⠀琀 ⴀ 쐀㄃ ⴀ 쐀㈃ ⴀ 쐀㌃⤀

਀㰀戀爀㸀 y(t) = y1(t) + y2(t) + y3(t) ਀㰀戀爀㸀    = s1(t) f3(t) + s2(t) f2(t) + s3(t) f1(t) ਀㰀戀爀㸀    = s1(t) x(t - τ1) + s2(t) x(t - τ1 - τ2) + s3(t) x(t - τ1 - τ2 - τ3)਀㰀⼀椀㸀

਀䄀戀眀攀椀挀栀攀渀搀 瘀漀渀 戀攀欀愀渀渀琀攀渀Ⰰ 洀愀琀栀攀洀愀琀椀猀挀栀攀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀洀漀搀攀氀氀攀渀 挀栀愀爀愀欀琀攀爀椀猀椀攀爀琀 搀椀攀 䘀漀爀洀攀氀 搀椀攀猀攀猀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀 㰀椀㸀愀甀挀栀㰀⼀椀㸀 昀ﰀ爀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀攀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最攀渀⸀ 䘀ﰀ爀 攀椀渀 一攀琀稀眀攀爀欀 洀椀琀 䴀 䬀渀漀琀攀渀 昀椀渀搀攀渀 眀椀爀 攀渀琀猀瀀爀攀挀栀攀渀搀

਀㰀椀㸀 y(t) = s1(t) x(t - τ1) + s2(t) x(t - τ1 - τ2) + ... + sM(t) x(t - τ1 - τ2 - ... - τM)਀㰀⼀椀㸀ऀऀऀऀऀऀऀ ☀攀洀猀瀀㬀ऀ⠀䔀焀渀⸀㄀⤀

਀䐀椀攀 䘀漀爀洀攀氀 稀攀椀最琀 戀攀爀攀椀琀猀 稀眀攀椀 圀攀猀攀渀猀攀椀最攀渀猀挀栀愀昀琀攀渀 瘀漀渀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀攀渀㨀 

    ਀㰀氀椀㸀䔀爀猀琀攀渀猀 椀猀琀 戀攀椀 匀欀愀氀椀攀爀甀渀最 漀搀攀爀 쐀渀搀攀爀甀渀最 搀攀爀 㰀椀㸀嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀稀攀椀琀攀渀㰀⼀椀㸀 稀甀 攀爀欀攀渀渀攀渀Ⰰ 搀愀� 猀椀挀栀 搀椀攀 匀礀猀琀攀洀愀渀琀眀漀爀琀 最爀甀渀搀氀攀最攀渀搀 瘀攀爀渀搀攀爀琀㬀 
  • Zweitens verändert sich die Systemantwort grundlegend bei Veränderung der Gewichte (oder Koeffizienten). ਀㰀⼀甀氀㸀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀攀 爀攀愀最椀攀爀攀渀 昀漀氀最氀椀挀栀 攀洀瀀昀椀渀搀氀椀挀栀 戀攀椀 쐀渀搀攀爀甀渀最 瘀漀渀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀稀攀椀琀攀渀 ⠀搀攀氀愀礀猀⤀ 眀椀攀 戀攀椀 嘀攀爀渀搀攀爀甀渀最 瘀漀渀 䜀攀眀椀挀栀琀攀渀 ⠀眀攀椀最栀琀猀⤀⸀  ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀䘀ﰀ爀 搀攀渀 䘀愀氀氀 椀搀攀渀琀椀猀挀栀攀爀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀稀攀椀琀攀渀 㰀椀㸀⠀쐀 㴀 쐀㄃ 㴀 쐀㈃ 㴀 쐀㌃ 㴀 爀⼀瘀Ⰰ 爀㰀⼀椀㸀㨀 䄀戀猀琀愀渀搀Ⰰ 㰀椀㸀瘀㰀⼀椀㸀㨀 䰀攀椀琀最攀猀挀栀眀椀渀搀椀最欀攀椀琀⤀ 稀眀椀猀挀栀攀渀 搀攀渀 䬀渀漀琀攀渀 攀渀琀猀琀攀栀琀 攀椀渀攀 匀甀洀洀攀渀昀漀爀洀攀氀Ⰰ 搀椀攀 稀甀猀琀稀氀椀挀栀 稀攀椀琀氀椀挀栀 瘀攀爀渀搀攀爀氀椀挀栀攀 ∀䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀∀ 㰀椀㸀猀㰀猀甀戀㸀洀㰀⼀猀甀戀㸀⠀琀⤀㰀⼀椀㸀 最攀猀琀愀琀琀攀琀

    ਀㰀椀㸀 y(t) = Σm=1:M ( sm(t) x(t - mτ )).਀㰀⼀椀㸀ऀऀऀऀऀऀऀ ☀攀洀猀瀀㬀ऀ⠀䔀焀渀⸀㈀⤀

    ਀䤀洀 䘀愀氀氀 攀椀渀攀猀 稀攀椀琀氀椀挀栀 甀渀瘀攀爀渀搀攀爀氀椀挀栀攀渀Ⰰ 椀渀昀椀渀椀琀攀猀椀洀愀氀 搀椀挀栀琀攀渀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀瘀攀欀琀漀爀猀 㰀椀㸀猀㰀⼀椀㸀 攀渀琀猀琀攀栀琀 攀椀渀 䤀渀琀攀最爀愀氀 瘀攀爀最氀攀椀挀栀戀愀爀 搀攀洀 䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀  

    ਀㰀椀㸀 y(t) = x(t) * s(t) = ∫ ( s(τ) x(t - τ ) dτ.਀㰀⼀椀㸀ऀऀ ऀऀऀऀऀ☀攀洀猀瀀㬀ऀ⠀䔀焀渀⸀㌀⤀

    ਀ ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀洀愀琀栀㸀㰀⼀愀㸀

    Faltung, mathematisch

    ਀ ਀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Für den Fall identischer Verzögerungszeiten zwischen den Knoten (τ = τ1 = τ2 = τ3) und für den Sonderfall systolischer Netze oder zellularer Automaten, bei denen Orts- und Zeitbezug aufeinander normiert sind, folgt aus der dann zu erfüllenden Geschwindigkeitsbedingung ਀㰀椀㸀吀 㴀 刀⼀嘀 㴀 ㄀㰀⼀椀㸀 搀椀攀 嘀攀爀攀椀渀昀愀挀栀甀渀最 㰀椀㸀吀 㴀 쐀 㴀 ㄀㰀⼀椀㸀

    ਀㰀椀㸀 y[n] = s1 f[n-1] + s2 f[n-2] + s3 f[n-3]. ਀㰀⼀椀㸀 ऀऀऀऀऀऀऀ☀攀洀猀瀀㬀ऀ⠀䔀焀渀⸀㐀⤀

    ਀㰀戀爀㸀 ਀㰀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀 ਀
    Bild 4: Klassisches FIR-Filter mit drei Koeffizienten und normierter Raum- Zeit- Struktur.਀㰀⼀戀㸀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀

    ਀ Setzen wir in diese Formel einige Werte für [n] ein. Wir nehmen an, daß nur die Werte f[1]...f[3] von Null verschieden sind. Alle anderen Produkte sind Null und werden gestrichen.਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀渀㴀㄀㨀☀攀洀猀瀀㬀ऀ礀嬀㄀崀 㴀 㰀猀㸀猀㄀ 昀嬀 崀㰀⼀猀㸀 ⬀ 㰀猀㸀猀㈀ 昀嬀ⴀ㄀崀㰀⼀猀㸀 ⬀ 㰀猀㸀猀㌀ 昀嬀ⴀ㈀崀㰀⼀猀㸀 

    ਀渀㴀㈀㨀☀攀洀猀瀀㬀ऀ礀嬀㈀崀 㴀 猀㄀ 昀嬀㄀崀 ⬀ 㰀猀㸀猀㈀ 昀嬀 崀㰀⼀猀㸀 ⬀ 㰀猀㸀猀㌀ 昀嬀ⴀ㄀崀㰀⼀猀㸀 

    ਀渀㴀㌀㨀☀攀洀猀瀀㬀ऀ礀嬀㌀崀 㴀 猀㄀ 昀嬀㈀崀 ⬀ 猀㈀ 昀嬀㄀崀 ⬀ 猀㌀ 昀嬀 崀 

    ਀渀㴀㐀㨀☀攀洀猀瀀㬀ऀ礀嬀㐀崀 㴀 猀㄀ 昀嬀㌀崀 ⬀ 猀㈀ 昀嬀㈀崀 ⬀ 猀㌀ 昀嬀㄀崀 

    ਀渀㴀㔀㨀☀攀洀猀瀀㬀ऀ礀嬀㔀崀 㴀 㰀猀㸀猀㄀ 昀嬀㐀崀㰀⼀猀㸀 ⬀ 猀㈀ 昀嬀㌀崀 ⬀ 猀㌀ 昀嬀㈀崀 

    ਀渀㴀㘀㨀☀攀洀猀瀀㬀ऀ礀嬀㔀崀 㴀 㰀猀㸀猀㄀ 昀嬀㔀崀㰀⼀猀㸀 ⬀ 㰀猀㸀猀㈀ 昀嬀㐀崀㰀⼀猀㸀 ⬀ 猀㌀ 昀嬀㌀崀  ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Nun führen wir anstelle der Ziffern im Index eine Variable m ein, wir beginnen mit m=1਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀渀崀 㴀  猀⠀洀⤀ 昀嬀渀ⴀ㄀崀 ⬀ 猀⠀洀⬀㄀⤀ 昀嬀渀ⴀ㈀崀 ⬀ 猀⠀洀⬀㈀⤀ 昀嬀渀ⴀ㌀崀⸀   (Eqn.5)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Man beachte, daß runde Klammern eigentlich einen Ortsbezug und eckige Klammern einen Zeitbezug darstellen. Da wir aber ein Netz mit normiertem Orts- und Zeitbezug (1/dr = 1/dt, V = 1) betrachten wollen, ist dies folgend nicht mehr von Belang. ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Unter Weglassung des am Eingang liegenden Verzögerungsgliedes erhalten wir eine symmetrische Summenform (nach Dr. Wolfgang Harder)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀琀⤀ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㈀∀㸀ꌀ㰃⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀椀㴀 㨀䴀㰀⼀猀甀戀㸀 ⠀ 猀㰀猀甀戀㸀洀⬀椀㰀⼀猀甀戀㸀⠀渀⤀ 砀⠀渀 ⴀ 椀⤀⸀   (Eqn.6)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀䴀椀琀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀最氀椀攀搀 椀洀 䔀椀渀最愀渀最 欀愀渀渀 䜀氀攀椀挀栀甀渀最 㐀 椀渀 攀椀渀攀 戀攀欀愀渀渀琀攀爀攀 匀甀洀洀攀渀昀漀爀洀 甀洀最攀昀漀爀洀琀 眀攀爀搀攀渀

    ਀㰀椀㸀 y[n] = Σm=1:M ( sm(n) f(n-m) ).਀㰀⼀椀㸀ऀऀऀऀऀऀऀ ☀攀洀猀瀀㬀ऀ⠀䔀焀渀⸀㜀⤀

    ਀圀椀爀搀 渀甀渀 愀渀最攀渀漀洀洀攀渀Ⰰ 搀椀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 㰀椀㸀猀㰀猀甀戀㸀㄀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 戀椀猀 㰀椀㸀猀㰀猀甀戀㸀䴀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 眀爀攀渀 欀漀渀猀琀愀渀琀攀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀Ⰰ 搀愀渀渀 昀漀氀最琀 搀椀攀 嘀漀氀琀攀爀爀愀✀猀挀栀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀昀漀爀洀攀氀 嬀㄀崀㨀

    ਀㰀椀㸀 y[n] = Σm=1:M ( s(m) f(n-m) ). ਀㰀⼀椀㸀ऀऀऀऀऀऀऀ ☀攀洀猀瀀㬀ऀ⠀䔀焀渀⸀㠀⤀

    ਀ ਀䔀渀琀最攀最攀渀 愀渀搀攀爀猀氀愀甀琀攀渀搀攀渀 嘀攀爀昀昀攀渀琀氀椀挀栀甀渀最攀渀 最椀氀琀 搀椀攀猀攀 䘀漀爀洀攀氀 猀琀爀攀渀最 最攀渀漀洀洀攀渀 㰀椀㸀渀甀爀 洀椀琀 嘀攀爀稀最攀爀甀渀最猀最氀椀攀搀㰀⼀椀㸀 㰀椀㸀吀㰀⼀椀㸀 稀眀椀猀挀栀攀渀  㰀椀㸀砀嬀渀崀㰀⼀椀㸀 甀渀搀 㰀椀㸀昀㰀猀甀戀㸀㌀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀⸀ 嘀攀爀攀椀渀昀愀挀栀攀渀搀 眀攀爀搀攀渀 䬀漀渀瘀攀爀最攀渀稀欀爀椀琀攀爀椀攀渀 栀椀攀爀 渀椀挀栀琀 戀攀琀爀愀挀栀琀攀琀⸀

    ਀ ਀ ਀㰀栀㌀㸀娀甀猀愀洀洀攀渀栀愀渀最 瘀漀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀ⴀ 甀渀搀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀㰀⼀栀㌀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Am Beispiel einer diskreten Faltung von s(n) und f(n-m) in der Form ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀渀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㈀∀㸀ꌀ㰃⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀洀㴀㄀㨀㌀㰀⼀猀甀戀㸀 ⠀ 猀⠀洀⤀ 昀⠀渀ⴀ洀⤀ ⤀⸀ऀ   (Eqn.9)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀眀漀氀氀攀渀 眀椀爀 搀攀渀 娀甀猀愀洀洀攀渀栀愀渀最 稀眀椀猀挀栀攀渀 搀攀爀 䜀爀甀渀搀漀瀀攀爀愀琀椀漀渀 搀攀爀 匀椀最渀愀氀琀栀攀漀爀椀攀Ⰰ 搀攀洀 䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀 甀渀搀 搀攀爀 䜀爀甀渀搀漀瀀攀爀愀琀椀漀渀 搀攀爀 圀攀氀氀攀渀椀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀Ⰰ 搀攀洀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀Ⰰ 戀攀氀攀甀挀栀琀攀渀⸀ 䐀愀稀甀 戀攀琀爀愀挀栀琀攀渀 眀椀爀 搀攀渀 稀眀攀椀琀攀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀瘀攀欀琀漀爀 㰀椀㸀猀㰀⼀椀㸀 椀洀 椀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀攀氀氀攀渀 匀椀渀渀 愀氀猀 甀渀戀攀眀攀最氀椀挀栀Ⰰ 愀氀猀 ∀猀琀攀栀攀渀搀攀 圀攀氀氀攀∀ 漀搀攀爀 愀氀猀 ∀䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀瘀攀欀琀漀爀∀ 椀洀 匀椀渀渀攀 搀椀最椀琀愀氀攀爀 䘀椀氀琀攀爀琀栀攀漀爀椀攀⸀

    ਀ Zur Erinnerung: In Interferenznetzen ist verzögerungsfreie Signalübertragung verboten. Verzögerungszeiten erzeugen stets neue Knoten. Der s-Vektor assoziiert damit im physikalischen Sinne mit Orten, während der f-Vektor mit Zeiten assoziieren muß. Verzögerungen T zwischen Netzwerkknoten assoziieren über die Leitgeschwindigkeit v mit Abständen r = vT. ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀䤀渀 搀攀渀 䔀椀渀最愀戀攀昀攀氀搀攀爀渀 ⠀栀攀氀氀最爀ﰀ渀⤀ 欀渀渀攀渀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀 稀眀攀椀攀爀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 攀椀渀最攀最攀戀攀渀 眀攀爀搀攀渀⸀  Der Algorithmus berechnet die Zeilensummen - das ਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㘀㔀䈀㄀∀㸀㰀戀㸀䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀㰀⼀戀㸀㰀⼀昀漀渀琀㸀 ⴀ 椀渀 搀攀爀 爀攀挀栀琀攀渀 匀瀀愀氀琀攀 ⠀戀氀愀甀⤀Ⰰ 猀漀眀椀攀 搀椀攀 匀瀀愀氀琀攀渀猀甀洀洀攀渀 ⴀ 搀愀猀 㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀䘀䘀    ∀㸀㰀戀㸀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀ⴀ䤀渀琀攀最爀愀氀㰀⼀戀㸀㰀⼀昀漀渀琀㸀 ⴀ  in der letzten Zeile (rot). Die Zeitachse läuft vertikal, der Ort variiert horizontal. Wir können bemerken, daß das Faltungintegral nichtlokal agiert, während das Interferenzintegral streng auf je einen Knoten des Verzögerungsnetzwerkes (Interferenznetzwerkes) fokussiert ist. ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀ ਀㰀℀ⴀⴀ 刀攀挀栀攀渀琀愀戀攀氀氀攀 ⴀⴀ㸀 ਀⠀䔀椀渀最愀戀攀渀 欀渀渀攀渀 椀渀琀攀爀愀欀琀椀瘀 椀洀 㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀㔀㔀挀挀  ∀㸀㰀戀㸀最爀ﰀ渀攀渀 䈀攀爀攀椀挀栀㰀⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀戀㸀 瘀攀爀渀搀攀爀琀 眀攀爀搀攀渀⸀⤀

    ਀㰀戀爀㸀 ਀ ਀㰀⼀琀搀㸀 ਀ ਀㰀昀漀爀洀 渀愀洀攀㴀∀攀椀渀最愀戀攀∀ 漀渀䌀栀愀渀最攀㴀∀爀攀琀甀爀渀 爀攀挀栀渀攀⠀⤀㬀∀㸀 ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㠀㠀昀昀  ∀㸀㰀琀搀 挀漀氀猀瀀愀渀㴀∀㠀∀㸀㰀戀㸀䔀椀渀最愀戀攀昀攀氀搀㰀⼀戀㸀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀爀椀最栀琀㸀娀攀椀琀 琀㰀⼀琀搀㸀  | ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㠀㠀昀昀  ∀㸀㰀琀搀 眀椀搀琀栀㴀㈀㔀─㸀䔀爀猀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 瘀愀氀甀攀㴀∀㄀∀ 漀渀䌀栀愀渀最攀㴀∀爀攀琀甀爀渀 爀攀挀栀渀攀⠀⤀㬀∀㸀昀㄀㰀⼀琀搀㸀 f2਀㰀琀搀 㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 瘀愀氀甀攀㴀∀㌀∀ 漀渀䌀栀愀渀最攀㴀∀爀攀琀甀爀渀 爀攀挀栀渀攀⠀⤀㬀∀㸀昀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀挀攀渀琀攀爀㸀 簀 㰀⼀琀搀㸀  ———> ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㠀㠀昀昀  ∀㸀㰀琀搀 㸀娀眀攀椀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 瘀愀氀甀攀㴀∀㄀∀ 漀渀䌀栀愀渀最攀㴀∀爀攀琀甀爀渀 爀攀挀栀渀攀⠀⤀㬀∀㸀猀㄀㰀⼀琀搀㸀 s2਀㰀琀搀 㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 瘀愀氀甀攀㴀∀㌀∀ 漀渀䌀栀愀渀最攀㴀∀爀攀琀甀爀渀 爀攀挀栀渀攀⠀⤀㬀∀㸀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 㸀㰀⼀琀搀㸀  V ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀挀攀渀琀攀爀㸀伀爀琀 쐀㰃⼀琀搀㸀 ਀ ਀ ਀㰀昀漀爀洀 渀愀洀攀㴀∀愀甀猀最愀戀攀∀㸀 ਀㰀琀爀㸀 ਀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀爀攀猀攀琀∀ 瘀愀氀甀攀㴀∀刀ﰀ挀欀猀攀琀稀攀渀∀ 漀渀挀氀椀挀欀㴀∀椀渀椀琀⠀⤀∀ style="background-color:#ffffbb; width:80">਀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀戀甀琀琀漀渀∀ 渀愀洀攀㴀∀欀渀漀瀀昀∀ 瘀愀氀甀攀㴀∀刀攀挀栀渀攀渀∀ 漀渀挀氀椀挀欀㴀∀爀攀挀栀渀攀⠀⤀∀  style="background-color:#ffffbb; width:80">਀㰀戀爀㸀 ਀㰀琀搀 挀漀氀猀瀀愀渀㴀∀㄀ ∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀戀戀戀戀戀戀∀㸀㰀琀搀 挀漀氀猀瀀愀渀㴀∀㄀㄀∀㸀㰀戀㸀䘀愀氀琀甀渀最 搀攀爀 攀爀猀琀攀渀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀㰀⼀戀㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ ਀ 㰀琀搀㸀䔀爀猀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀愀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀娀眀攀椀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 甀渀瘀攀爀渀搀攀爀琀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀愀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ Rechnung਀㰀⼀琀搀㸀  Faltungssummen ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀爀㸀 Erste Zeitfunktion schieben ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀戀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀戀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 Zweite Zeitfunktion multiplizieren ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀戀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀戀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀搀搀搀搀䈀 ∀㸀 Produkte ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㄀猀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀挀漀渀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀爀㸀 Erste Zeitfunktion schieben ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀挀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀挀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 Zweite Zeitfunktion multiplizieren ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀挀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀挀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀搀搀搀搀䈀 ∀㸀 Produkte ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㈀猀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ ਀ 㰀琀搀㸀䔀爀猀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 猀挀栀椀攀戀攀渀ऀ㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀搀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀娀眀攀椀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 洀甀氀琀椀瀀氀椀稀椀攀爀攀渀ऀ㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀搀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀㸀倀爀漀搀甀欀琀攀ऀऀऀऀ㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㈀猀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ ਀ 㰀琀搀㸀䔀爀猀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 猀挀栀椀攀戀攀渀ऀ㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀攀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀娀眀攀椀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 洀甀氀琀椀瀀氀椀稀椀攀爀攀渀 ऀ㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀攀㈀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀  ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀㸀倀爀漀搀甀欀琀攀ऀऀ㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㈀猀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀挀漀渀㐀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀爀㸀 Erste Zeitfunktion schieben ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀昀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀昀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 Zweite Zeitfunktion multiplizieren ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀昀㄀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀猀昀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀搀搀搀搀䈀 ∀㸀 Produkte ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀昀㌀猀㌀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀挀漀渀㔀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ ਀㰀琀爀㸀 Summe der Faltungssummen ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀ ਀㰀琀搀㸀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀ⴀ匀甀洀洀攀渀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀椀渀瀀甀琀 琀礀瀀攀㴀∀琀攀砀琀∀ 渀愀洀攀㴀∀椀渀琀㈀猀甀洀∀ 猀椀稀攀㴀∀㄀∀ 㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ 㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 㰀琀搀㸀䜀攀猀愀洀琀㨀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀ ਀ ਀㰀℀ⴀⴀ 吀攀砀琀 ⴀⴀ㸀 ਀㰀琀爀㸀㰀琀搀  挀漀氀猀瀀愀渀㴀∀㄀㄀∀㸀

    ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀攀砀愀洀瀀氀攀猀㸀㰀⼀愀㸀

    Übungen mit der Rechentabelle

    ਀

    ਀唀洀 䔀椀最攀渀猀挀栀愀昀琀攀渀 瘀漀渀 䘀愀氀琀甀渀最 甀渀搀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀攀渀 欀攀渀渀攀渀稀甀氀攀爀渀攀渀Ⰰ 最攀戀攀 洀愀渀 昀ﰀ爀 搀椀攀 攀爀猀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 稀⸀䈀⸀ 攀椀渀攀渀 匀琀漀� 攀椀渀㨀 笀 Ⰰ Ⰰ㄀紀Ⰰ 笀 Ⰰ㄀Ⰰ 紀 漀搀攀爀 笀㄀Ⰰ Ⰰ 紀⸀ 䐀愀渀愀挀栀 戀椀琀琀攀 爀ﰀ挀欀猀攀琀稀攀渀 甀渀搀 搀椀攀猀攀氀戀攀渀 圀攀爀琀攀 猀琀愀琀琀 椀渀 搀椀攀 攀爀猀琀攀 椀渀 搀椀攀 稀眀攀椀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 攀椀渀最攀戀攀渀⸀ 圀椀爀 猀攀栀攀渀Ⰰ 搀愀� 樀攀眀攀椀氀猀 搀椀攀 愀渀搀攀爀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 洀椀琀 搀攀洀 䔀椀渀猀ⴀ䤀洀瀀甀氀猀 爀攀瀀爀漀搀甀稀椀攀爀琀 眀椀爀搀⸀ 䴀愀渀 戀攀愀挀栀琀攀 愀甀挀栀 搀椀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀⸀

    ਀䨀攀琀稀琀 瀀爀ﰀ昀攀渀 眀椀爀 攀椀渀攀 匀瀀爀甀渀最昀甀渀欀琀椀漀渀 甀渀搀 最攀戀攀渀 搀愀稀甀 椀渀 搀椀攀 攀爀猀琀攀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀 笀㄀Ⰰ㄀Ⰰ㄀紀 攀椀渀⸀ 圀椀爀 昀椀渀搀攀渀 瘀攀爀搀爀攀椀昀愀挀栀琀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 ∀搀椀攀 䜀氀攀椀挀栀猀瀀愀渀渀甀渀最猀瘀攀爀猀琀爀欀甀渀最 椀猀琀 搀椀攀 匀甀洀洀攀 搀攀爀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀∀⸀

    ਀一甀渀 昀ﰀ氀氀攀渀 眀椀爀 愀氀氀攀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀 戀攀椀搀攀爀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 洀椀琀 䔀椀渀猀 甀渀搀 昀椀渀搀攀渀 攀椀渀攀 椀渀琀攀最爀愀氀攀 倀礀爀愀洀椀搀攀⸀ 

    ਀娀甀洀 匀挀栀氀甀� 欀渀渀攀渀 眀椀爀 渀漀挀栀 搀椀攀 䘀漀氀最攀 笀㄀Ⰰⴀ㈀Ⰰ㄀紀 攀椀渀最攀戀攀渀⸀ 䐀椀攀 匀甀洀洀攀 搀攀爀 䬀漀攀昀昀椀稀椀攀渀琀攀渀 椀猀琀 一甀氀氀Ⰰ 搀愀猀 䔀爀最攀戀渀椀猀 搀椀琀漀⸀ ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀搀椀猀欀㸀㰀⼀愀㸀

    Diskussion

    ਀ ਀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Summiert (integriert) man die Summen (Interferenz-Integrale, I²) der Knoten des betrachteten Faltungsnetzwerkes (letzte Zeile), so arbeitet man notwendigerweise mit der vollständigen Produktmatrix (dyadisches Produkt; Tensorprodukt 2.Stufe, Rang1) beider Vektoren. Betrachtet man die Faltung als verallgemeinerte Multiplikation, baut sie auf ebendieser Produktmatrix auf. Vergleiche dazu auch die Korrespondenz der Faltung zur Polynommultiplikation ਀㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⸀⸀⼀⸀⸀⼀琀攀挀栀搀漀挀猀⼀瀀漀氀礀渀漀洀开挀漀渀瘀漀氀⸀猀挀攀∀㸀嬀㄀㄀崀㰀⼀愀㸀 ⠀吀攀砀琀昀椀氀攀⤀⸀

    ਀嘀漀爀愀甀猀最攀猀攀琀稀琀Ⰰ 戀攀椀搀攀 嘀攀欀琀漀爀攀渀 猀椀渀搀 戀椀猀 愀甀昀 戀攀琀爀愀挀栀琀攀琀攀 䔀氀攀洀攀渀琀攀 一甀氀氀Ⰰ 搀愀渀渀 椀猀琀 搀椀攀 匀甀洀洀攀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀猀甀洀洀攀渀 ⠀搀愀猀 䤀渀琀攀最爀愀氀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀攀⤀  最氀攀椀挀栀 搀攀爀 匀甀洀洀攀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 ⠀搀攀洀 䤀渀琀攀最爀愀氀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀攀⤀⸀ 䐀愀猀 椀猀琀 渀椀挀栀琀 瘀攀爀眀甀渀搀攀爀氀椀挀栀Ⰰ 稀攀椀最攀渀 搀漀挀栀 戀攀椀搀攀 匀甀洀洀攀渀 搀攀渀 圀攀爀琀 搀攀爀 爀攀搀甀稀椀攀爀琀攀渀  䴀愀琀爀椀砀 嬀㰀椀㸀 椀Ⰰ椀 㰀⼀椀㸀崀 㴀 嬀㰀椀㸀 ㄀Ⰰ椀 㰀⼀椀㸀崀 ⨀ 嬀㰀椀㸀 椀Ⰰ㄀ 㰀⼀椀㸀崀 愀渀Ⰰ  wenn wir gleich lange, von Null verschiedene Vektoren der Länge i annehmen. ਀䄀甀昀 䈀攀眀攀椀猀攀 猀漀氀氀 瘀攀爀稀椀挀栀琀攀琀 眀攀爀搀攀渀Ⰰ 搀椀攀猀攀 ﰀ戀攀爀氀愀猀猀攀渀 眀椀爀 氀椀攀戀攀爀 搀攀渀 嘀攀爀琀爀攀琀攀爀渀 搀攀爀 洀愀琀栀攀洀愀琀椀猀挀栀攀渀 䘀愀欀甀氀琀琀⸀

    ਀䐀攀爀 唀渀琀攀爀猀挀栀椀攀搀 稀眀椀猀挀栀攀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀 甀渀搀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀 戀攀猀琀攀栀琀 搀愀爀椀渀Ⰰ 搀愀� 戀攀椀 搀攀爀 㰀椀㸀䘀愀氀琀甀渀最 搀椀愀最漀渀愀氀㰀⼀椀㸀Ⰰ 戀攀椀 搀攀爀 㰀椀㸀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀 瘀攀爀琀椀欀愀氀㰀⼀椀㸀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䔀氀攀洀攀渀琀攀 搀攀爀 䴀愀琀爀椀砀 猀甀洀洀椀攀爀琀 眀椀爀搀⸀  Man beachte aber, daß es sich in horizontaler Richtung im physikalischen Sinn um verschiedene Orte handelt, in vertikaler Richtung aber um verschiedene Zeiten. ਀

    ਀匀琀愀琀琀 洀椀琀 甀渀攀渀搀氀椀挀栀攀渀 刀攀椀栀攀渀 稀甀 爀攀挀栀渀攀渀Ⰰ 爀攀搀甀稀椀攀爀攀渀 眀椀爀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 愀甀昀 眀攀渀椀最攀Ⰰ 瘀漀渀 一甀氀氀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀攀渀 䔀氀攀洀攀渀琀攀Ⰰ 椀洀 䈀攀椀猀瀀椀攀氀 猀椀渀搀 攀猀 樀攀 搀爀攀椀⸀ 一甀渀 昀ﰀ栀爀攀渀 眀椀爀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 洀椀琀  㰀愀 栀爀攀昀㴀∀栀琀琀瀀㨀⼀⼀眀眀眀⸀猀挀椀氀愀戀⸀漀爀最⼀∀㸀匀挀椀氀愀戀㰀⼀愀㸀 aus. ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 convol ([1 2 3], [1 2 3]) = [1 4 10 12 9]   (Eqn.10)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Man vergleiche das Ergebnis mit der blauen Spalte der Faltungssummen in der Rechentabelle.਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀洀愀琀爀椀砀㸀㰀⼀愀㸀

    Matrixsumme

    ਀

    ਀䈀攀稀攀椀挀栀渀攀渀 㰀椀㸀昀 㴀 嬀昀㄀ 昀㈀ 昀㌀崀㰀⼀椀㸀 甀渀搀 㰀椀㸀猀 㴀 嬀猀㄀ 猀㈀ 猀㌀崀㰀⼀椀㸀 搀椀攀 瘀漀渀 一甀氀氀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀攀渀 吀攀爀洀攀 搀攀爀  稀眀攀椀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀Ⰰ 猀漀 氀�琀 猀椀挀栀 攀椀渀攀  倀爀漀搀甀欀琀洀愀琀爀椀砀  [fT . s] bilden:਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀琀愀戀氀攀 䈀伀刀䐀䔀刀㴀  䌀䔀䰀䰀匀倀䄀䌀䤀一䜀㴀㔀 䌀䔀䰀䰀倀䄀䐀䐀䤀一䜀㴀㔀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㄀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㄀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㄀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 [fT s] = f2s1f2s2f2s3   (Eqn.11) ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㌀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㌀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㌀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀愀戀氀攀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Die Summe aller (n.m) Koeffizienten der Produktmatrix vom Format [n, m] soll mit dem Namen "Matrixsumme" bezeichnet werden. Die Matrixsumme matsum unseres Beispiels ist ਀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀洀愀琀猀甀洀 㴀 猀甀洀 嬀昀㰀猀甀瀀㸀吀㰀⼀猀甀瀀㸀 㰀猀甀瀀㸀⸀㰀⼀猀甀瀀㸀 猀崀 㴀 昀㄀猀㄀ ⬀ 昀㄀猀㈀ ⬀ 昀㄀猀㌀ ⬀ 昀㈀猀㄀ ⬀ ⸀⸀⸀ ⬀ 昀㌀猀㌀⸀ऀ ☀攀洀猀瀀㬀 ऀ⠀䔀焀渀⸀㄀㈀⤀



    ਀ ਀ ਀㰀栀㌀㸀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 ⠀刀愀甀洀ⴀⰀ 伀爀琀ⴀ 漀搀攀爀 䬀渀漀琀攀渀ⴀ 匀甀洀洀攀渀⤀㰀⼀栀㌀㸀 ਀

    ਀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 ⠀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀攀⤀ 㰀椀㸀椀渀琀㰀⼀椀㸀 眀攀爀搀攀渀 瀀爀漀 伀爀琀 戀稀眀⸀ 匀挀栀愀氀琀甀渀最猀欀渀漀琀攀渀 ⴀ 栀椀攀爀 瘀攀爀琀椀欀愀氀 ⴀ 戀攀爀攀挀栀渀攀琀 ⠀搀椀攀 娀攀椀琀 氀甀昀琀 椀洀 䈀攀椀猀瀀椀攀氀 渀愀挀栀 甀渀琀攀渀⤀㨀

    ਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀戀戀    ∀㸀 int1 = f1s1 + f2s1 + f3s1;
    ਀椀渀琀㈀ 㴀 昀㄀猀㈀ ⬀ 昀㈀猀㈀ ⬀ 昀㌀猀㈀㬀㰀戀爀㸀 int3 = f1s3 + f2s3 + f3s3;
    ਀㰀戀爀㸀 intsum = int1 + int2 + int3;   (Eqn.13)਀㰀戀爀㸀
    ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 So ist die Interferenzsumme int2 in der Matrix der mittleren Spalte (rot) zuzuordnen:਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀琀愀戀氀攀 䈀伀刀䐀䔀刀㴀  䌀䔀䰀䰀匀倀䄀䌀䤀一䜀㴀㔀 䌀䔀䰀䰀倀䄀䐀䐀䤀一䜀㴀㔀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 f1f1s1f1s2f1s3਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀挀挀挀挀挀挀∀㸀昀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㈀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀昀昀    ∀㸀昀㈀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㈀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 f3f3s1f3s2f3s3਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀 Hinter den Termen finden wir die komplementären Reihenentwicklungen ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀渀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀洀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀洀崀 猀嬀渀崀 ऀ ☀攀洀猀瀀㬀 ऀ⠀䔀焀渀⸀㄀㐀⤀

    ਀礀嬀洀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀渀崀 猀嬀洀崀⸀ ऀ ☀攀洀猀瀀㬀 ऀ⠀䔀焀渀⸀㄀㔀⤀ ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀甀渀搀 椀渀 昀漀爀洀愀氀攀爀 䄀渀愀氀漀最椀攀 洀椀琀 搀攀爀 娀攀椀琀 㰀椀㸀渀 縀 琀㰀⼀椀㸀Ⰰ 搀攀洀 伀爀琀 㰀椀㸀洀 縀 쐀 㴀 爀⼀瘀㰀⼀椀㸀 甀渀搀 搀攀渀 䐀椀昀昀攀爀攀渀琀椀愀氀焀甀漀琀椀攀渀琀攀渀 㰀椀㸀搀琀 㴀 ㄀⼀昀㰀猀甀戀㸀猀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 戀稀眀⸀  dτ = dr/v die Integrale਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀琀⤀ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㈀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 昀⠀쐀⤃ 猀⠀琀⤀ 搀쐀     Zeitfunktion (a)   (Eqn.16)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀쐀⤃ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㈀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 昀⠀琀⤀ 猀⠀쐀⤃ 搀琀⸀   Ortsfunktion (b)   (Eqn.17)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Wir bemerken bitte, daß wir über (a) Ort (τ = r/v) oder (b) Zeit (t) integrieren und das Ergebnis für eine konstante (a) Zeit oder einen definierten (b) Ort erhalten. Der Begriff "Ortsfunktion" ist entsprechend als "Funktion eines (einzigen) Ortes" zu interpretieren, Zeitfunktion in Analogie als "Ortswelle bei stillstehender Zeit".਀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀



    ਀㰀⼀瀀㸀 ਀ ਀㰀栀㌀㸀䘀愀氀琀甀渀最猀猀甀洀洀攀渀㰀⼀栀㌀㸀 ਀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Ablesbar aus dem Schema stellen Faltungssummen (Faltungsintegrale) con offenbar diagonale Summationsketten dar, hier: ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀挀漀渀㄀ 㴀 昀㄀猀㄀㬀㰀戀爀㸀 con2 = f2s1 + f1s2;
    ਀挀漀渀㌀ 㴀 昀㌀猀㄀ ⬀ 昀㈀猀㈀ ⬀ 昀㄀猀㌀㬀㰀戀爀㸀 con4 = f3s2 + f2s3;
    ਀挀漀渀㔀 㴀 昀㌀猀㌀㬀㰀戀爀㸀
    ਀挀漀渀猀甀洀 㴀 挀漀渀㄀ ⬀ 挀漀渀㈀ ⬀ 挀漀渀㌀ ⬀ 挀漀渀㐀 ⬀ 挀漀渀㔀⸀ऀ
      (Eqn.18)਀㰀戀爀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 In der Matrix bezeichnet z.B. die Faltungssumme con3 die blau gefärbte Diagonale:਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀㰀琀愀戀氀攀 䈀伀刀䐀䔀刀㴀  䌀䔀䰀䰀匀倀䄀䌀䤀一䜀㴀㔀 䌀䔀䰀䰀倀䄀䐀䐀䤀一䜀㴀㔀㸀 ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 f1f1s1f1s2f1s3਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀挀挀挀挀挀挀∀㸀昀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㈀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㠀㔀搀㄀∀㸀昀㈀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㈀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 f3f3s1f3s2f3s3਀㰀⼀琀爀㸀 ਀

    ਀䐀愀洀椀琀 眀攀爀搀攀渀 椀洀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀渀 匀椀渀渀攀 戀攀椀 搀攀爀 䘀愀氀琀甀渀最 椀渀 娀攀椀琀 漀搀攀爀 刀愀甀洀 甀渀稀甀猀愀洀洀攀渀最攀栀爀椀最攀 圀攀爀琀攀 洀甀氀琀椀瀀氀椀稀椀攀爀琀⸀ 
    Folglich ist die Faltung ein Zeit- und Raum- Produkt. ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Wie leicht zu überprüfen ist (siehe Quelltext), werden in beiden Fällen alle Teilprodukte der Produktmatrix summiert, die Summen über die Integralwerte sind damit identisch und gleich der Matrixsumme matsum: ਀

    ਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀戀戀    ∀㸀椀渀琀猀甀洀㰀⼀昀漀渀琀㸀 㴀 㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀㄀ 㘀㔀䈀㄀∀㸀挀漀渀猀甀洀㰀⼀昀漀渀琀㸀 㴀 洀愀琀猀甀洀   (Eqn.19)਀

    ਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀戀戀    ∀㸀椀渀琀㄀ ⬀ 椀渀琀㈀  ⬀ 椀渀琀㌀㰀⼀昀漀渀琀㸀 㴀  con1 + con 2 + con 3 + con 4 + con5 .   (Eqn.20)਀

    ਀䔀猀 椀猀琀 稀甀 攀爀欀攀渀渀攀渀Ⰰ 搀愀� 搀椀攀 䄀渀稀愀栀氀 搀攀爀 匀甀洀洀愀渀搀攀渀 瀀爀椀渀稀椀瀀戀攀搀椀渀最琀 氀椀渀欀猀 甀渀搀 爀攀挀栀琀猀 瘀愀爀椀攀爀琀⸀ 

    ਀ ਀㰀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀 Hinter den Termen finden wir die komplementären Reihenentwicklungen ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀渀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀洀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀渀 ⴀ 洀崀 猀嬀洀崀      (Eqn.21)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀洀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀洀 ⴀ 渀崀 猀嬀渀崀⸀      (Eqn.22)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀甀渀搀 椀渀 昀漀爀洀愀氀攀爀 䄀渀愀氀漀最椀攀 洀椀琀 搀攀爀 娀攀椀琀 㰀椀㸀渀 縀 琀㰀⼀椀㸀Ⰰ 搀攀洀 伀爀琀 㰀椀㸀洀 縀 쐀 㴀 爀⼀瘀㰀⼀椀㸀 甀渀搀 搀攀渀 䐀椀昀昀攀爀攀渀琀椀愀氀焀甀漀琀椀攀渀琀攀渀 㰀椀㸀搀琀 㴀 ㄀⼀昀㰀猀甀戀㸀猀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 戀稀眀⸀  dτ = dr/v die Integrale਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀琀⤀ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㈀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 昀⠀琀ⴀ쐀⤃ 猀⠀쐀⤃ 搀쐀  (Zeitfunktion)   (Eqn.23)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀쐀⤃ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㈀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 昀⠀쐀ⴃ琀⤀ 猀⠀琀⤀ 搀琀  (Ortsfunktion).   (Eqn.24)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Wir bemerken bitte, daß wir über Ort (τ = r/v) oder Zeit (t) integrieren und das Ergebnis für Zeit oder Ort erhalten. ਀㰀戀爀㸀 Bezogen auf unser Beispiel erhalten wir con1 = y(2), con2 = y(3), conx = y(x+1).਀

਀㰀⼀瀀㸀㰀戀爀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀㰀戀爀㸀

਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀稀攀椀琀猀甀洀㸀㰀⼀愀㸀

Zeitsummen*

਀

਀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀ⴀ㄀∀㸀⨀ 䄀甀昀 搀椀攀猀攀 搀爀椀琀琀攀Ⰰ 稀甀渀挀栀猀琀 昀漀爀洀愀氀攀 甀渀搀 愀戀猀琀爀愀欀琀攀 䄀渀愀氀漀最椀攀 洀愀挀栀琀攀 䐀爀⸀ 䘀爀椀攀搀爀椀挀栀 䈀氀甀琀渀攀爀 愀渀氀⸀ 攀椀渀攀爀 䐀椀猀欀甀猀猀椀漀渀 愀甀昀洀攀爀欀猀愀洀⸀ ਀

਀伀爀搀渀攀渀 眀椀爀 搀椀攀 倀爀漀搀甀欀琀洀愀琀爀椀砀 渀愀挀栀 匀甀洀洀攀渀 ⠀䤀渀琀攀最爀愀氀攀渀⤀ 㰀椀㸀琀椀洀㰀⼀椀㸀Ⰰ 搀椀攀 最攀渀愀甀 昀ﰀ爀 樀攀 攀椀渀攀渀 娀攀椀琀瀀甀渀欀琀 最攀氀琀攀渀Ⰰ 猀漀 攀爀栀愀氀琀攀渀 眀椀爀

਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀  戀戀  ∀㸀 ਀琀椀洀㄀ 㴀 昀㄀猀㄀ ⬀ 昀㄀猀㈀ ⬀ 昀㄀猀㌀㬀㰀戀爀㸀 tim2 = f2s1 + f2s2 + f2s3;
਀琀椀洀㌀ 㴀 昀㌀猀㄀ ⬀ 昀㌀猀㈀ ⬀ 昀㌀猀㌀㬀㰀戀爀㸀 ਀㰀戀爀㸀 timsum = tim1 + tim2 + tim3;਀㰀⼀昀漀渀琀㸀ऀऀऀऀऀऀऀ ☀攀洀猀瀀㬀 ऀ⠀䔀焀渀⸀㈀㔀⤀
਀

਀䐀椀攀猀 猀椀渀搀 匀甀洀洀攀渀 ⠀䤀渀琀攀最爀愀氀攀⤀Ⰰ 搀椀攀 搀攀爀 䠀漀爀椀稀漀渀琀愀氀攀渀 稀甀稀甀漀爀搀渀攀渀 猀椀渀搀⸀ 匀漀 椀猀琀 搀愀猀 娀攀椀琀椀渀琀攀最爀愀氀 㰀椀㸀琀椀洀㈀㰀⼀椀㸀 搀攀爀 洀椀琀琀氀攀爀攀渀 娀攀椀氀攀 ⠀最爀ﰀ渀⤀ 稀甀稀甀漀爀搀渀攀渀㨀

਀ ਀㰀琀爀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀挀挀挀挀挀挀∀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀挀挀挀挀挀挀∀㸀昀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㄀猀㄀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㄀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀㸀昀㄀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 ਀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀  昀昀  ∀㸀昀㈀猀㈀㰀⼀琀搀㸀㰀琀搀 戀最挀漀氀漀爀㴀∀⌀  昀昀  ∀㸀昀㈀猀㌀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀爀㸀 ਀㰀⼀琀爀㸀
s1s2s3
f2f2s1
f3f3s1f3s2f3s3
਀ ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Wie leicht zu überprüfen ist, werden auch in diesem Falle alle Teilprodukte der Produktmatrix summiert, die Summen über die Zeitsummen sind damit identisch zu den Summen über die Summen der Interferenzwerte und die Summen über die Summen der Faltungswerte: ਀

਀㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀  戀戀  ∀㸀琀椀洀猀甀洀㰀⼀昀漀渀琀㸀 㴀  㰀昀漀渀琀 挀漀氀漀爀㴀∀⌀戀戀    ∀㸀椀渀琀猀甀洀㰀⼀昀漀渀琀㸀 㴀  consum = matsum   (Eqn.26)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Die Trivialität dieser Herleitung sollte nicht über die gewaltige Aussagekraft der Gleichung hinwegtäuschen. Im physikalischen Sinne bedeutet es, daß für ein solches, begrenztes und diskretisiertes System die Summe der Zeitfunktionen gleich der Summe derr Ortsfunktionen gleich der Summe der Faltungsfunktionen gleich der Matrixsumme ist.਀

਀䄀渀洀攀爀欀甀渀最㨀
਀㰀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀 Hinter den Termen finden wir die komplementären Reihenentwicklungen ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀渀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀洀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀渀崀 猀嬀洀崀    (Eqn.27)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀嬀洀崀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀洀崀 猀嬀渀崀⸀    (Eqn.28)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀甀渀搀 椀渀 昀漀爀洀愀氀攀爀 䄀渀愀氀漀最椀攀 洀椀琀 搀攀爀 娀攀椀琀 㰀椀㸀渀 縀 琀㰀⼀椀㸀Ⰰ 搀攀洀 伀爀琀 㰀椀㸀洀 縀 쐀 㴀 爀⼀瘀㰀⼀椀㸀 甀渀搀 搀攀渀 䐀椀昀昀攀爀攀渀琀椀愀氀焀甀漀琀椀攀渀琀攀渀 㰀椀㸀搀琀 㴀 ㄀⼀昀㰀猀甀戀㸀猀㰀⼀猀甀戀㸀㰀⼀椀㸀 戀稀眀⸀  dτ = dr/v die Integrale਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀琀⤀ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㈀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 昀⠀琀⤀ 猀⠀쐀⤃ 搀쐀 (Zeitfunktion)   (Eqn.29)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀礀⠀쐀⤃ 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㈀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 昀⠀쐀⤃ 猀⠀琀⤀ 搀琀  (Ortsfunktion).   (Eqn.30)਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 Wir bemerken bitte wiederum, daß wir über Ort (τ = r/v) oder Zeit (t) integrieren und das Ergebnis für Zeit oder Ort erhalten. ਀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀



਀㰀⼀瀀㸀 ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀愀氀氀最㸀㰀⼀愀㸀

Verallgemeinerung

਀

਀唀渀愀戀栀渀最椀最 瘀漀渀 最攀眀栀氀琀攀渀 䔀椀渀最愀渀最猀猀椀最渀愀氀攀渀 椀猀琀 搀椀攀 匀甀洀洀攀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 漀昀昀攀渀戀愀爀 甀渀琀攀爀 最攀攀椀最渀攀琀攀渀 刀愀渀搀戀攀搀椀渀最甀渀最攀渀 最氀攀椀挀栀 搀攀爀 匀甀洀洀攀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最猀猀甀洀洀攀渀 最氀攀椀挀栀 搀攀爀 匀甀洀洀攀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 娀攀椀琀猀甀洀洀攀渀⸀ 

਀ Zwei diskrete Zeitfunktionen (Vektoren) der Länge n und m zeigen präziser gesagt eine Summe der Faltungssummen gleich der Summe der Interferenzsummen gleich der Summe der Zeitsummen gleich der Summe der (n.m) Koeffizienten der Produktmatrix vom Format [n, m] (Matrixsumme) ਀洀椀琀 㰀椀㸀洀㰀⼀椀㸀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀欀攀琀琀攀渀 搀攀爀 䰀渀最攀 㰀椀㸀渀㰀⼀椀㸀Ⰰ  mit n Zeitketten der Länge m, ਀甀渀搀 洀椀琀 㰀椀㸀⠀渀⬀洀ⴀ㄀⤀㰀⼀椀㸀 䘀愀氀琀甀渀最猀欀攀琀琀攀渀 ⠀瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀攀爀 䰀渀最攀⤀⸀ 

਀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀ⴀ㄀㸀 (Der Fall n ungleich m ist dann relevant, wenn eine lange Zeitfunktion F auf einen kurzen, begrenzten Koeffizientensatz S angewandt wird, z.B. beim FIR-Filter.) ਀㰀⼀昀漀渀琀㸀

਀䘀ﰀ爀 甀渀猀攀爀 䈀攀椀猀瀀椀攀氀 最椀氀琀 㰀椀㸀渀 㴀 洀㰀⼀椀㸀⸀ 䐀愀洀椀琀 栀愀琀 搀椀攀 倀爀漀搀甀欀琀洀愀琀爀椀砀 搀椀攀 䘀漀爀洀  [n, n], es entstehen n² Partialprodukte, ਀㰀椀㸀渀㰀⼀椀㸀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀欀攀琀琀攀渀 搀攀爀 䰀渀最攀 㰀椀㸀渀㰀⼀椀㸀Ⰰ  n Zeitketten der Länge n und ਀㰀椀㸀⠀渀눀 ⴀ ㄀⤀㰀⼀椀㸀 䘀愀氀琀甀渀最猀欀攀琀琀攀渀 瘀攀爀猀挀栀椀攀搀攀渀攀爀 䰀渀最攀Ⰰ  

਀

਀㰀椀㸀 y = ∑n y[n] ਀㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 ∑m f[n-m] s[m] ਀㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 ∑m f[m] s[n] ਀㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 ∑m f[n] s[m] ਀㰀⼀椀㸀 ⠀娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀⤀Ⰰ ऀऀऀऀऀ ☀攀洀猀瀀㬀 ऀ⠀䔀焀渀⸀㌀㄀⤀

਀ ਀礀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀洀㰀⼀猀甀戀㸀 礀嬀洀崀  = ∑m਀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀洀ⴀ渀崀 猀嬀渀崀  = ∑m਀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀渀崀 猀嬀洀崀  = ∑m਀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀⬀㄀㸀ᄀ㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀猀甀戀㸀渀㰀⼀猀甀戀㸀 昀嬀洀崀 猀嬀渀崀  (Ortsfunktionen).   (Eqn.32)਀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀䠀愀氀戀椀攀爀攀渀 眀椀爀 搀椀攀 匀琀爀攀挀欀攀渀 稀眀椀猀挀栀攀渀 樀攀 稀眀攀椀 伀爀琀攀渀 ⠀栀漀爀椀稀漀渀琀愀氀⤀ 甀渀搀 稀眀椀猀挀栀攀渀 樀攀 稀眀攀椀 娀攀椀琀瀀甀渀欀琀攀渀 ⠀瘀攀爀琀椀欀愀氀⤀ 甀渀搀 瀀氀愀琀稀椀攀爀攀渀 搀漀爀琀 攀椀渀攀渀 渀攀甀攀渀 䬀渀漀琀攀渀Ⰰ 猀漀 瘀攀爀搀漀瀀瀀攀氀琀 猀椀挀栀 樀攀眀攀椀氀猀 搀椀攀 嘀攀欀琀漀爀氀渀最攀 㰀椀㸀昀㰀⼀椀㸀 甀渀搀 㰀椀㸀猀㰀⼀椀㸀 瘀漀渀 㰀椀㸀渀㰀⼀椀㸀 愀甀昀 㰀椀㸀⠀㈀渀 ⴀ ㄀⤀㰀⼀椀㸀Ⰰ 漀栀渀攀 搀愀� 搀椀攀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀渀 刀攀愀氀椀琀琀攀渀 椀渀 䘀漀爀洀 搀攀猀 嘀攀爀栀氀琀渀椀猀猀攀猀 稀眀椀猀挀栀攀渀 刀愀甀洀 甀渀搀 娀攀椀琀 ⠀愀氀猀 䰀攀椀琀最攀猀挀栀眀椀渀搀椀最欀攀椀琀⤀ 愀渀最攀琀愀猀琀攀琀 眀攀爀搀攀渀⸀ 圀椀攀搀攀爀栀漀氀攀渀 眀椀爀 搀椀攀猀攀渀 嘀漀爀最愀渀最 戀攀氀椀攀戀椀最 漀昀琀Ⰰ 欀渀渀攀渀 眀椀爀 昀漀爀洀愀氀 愀甀挀栀 稀甀 攀椀渀攀爀 椀渀琀攀最爀愀氀攀渀 匀挀栀爀攀椀戀眀攀椀猀攀 ﰀ戀攀爀最攀栀攀渀⸀ 

਀

਀㰀琀愀戀氀攀㸀 ਀㰀琀搀 眀椀搀琀栀 㴀 ∀㄀  ∀㸀㰀⼀琀搀㸀 faltung ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ort ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 zeit ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀椀㸀礀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㄀∀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 礀⠀琀⤀ 搀琀 㴀 㰀⼀椀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㌀∀㸀⬀⬢㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀琀搀㸀 { f(t-τ) s(τ) } dτ dt = ਀ ∫∫਀㰀琀搀㸀 笀 昀⠀쐀⤃ 猀⠀琀⤀ 紀 搀쐀 搀琀 㴀 㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㌀∀㸀⬀⬢㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀琀搀㸀 { f(t) s(τ) } dτ dt (Zeitfunktionen),   (Eqn.33)਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀⼀瀀㸀㰀瀀 愀氀椀最渀㴀∀樀甀猀琀椀昀礀∀㸀 ਀ ਀㰀琀愀戀氀攀㸀 ਀㰀琀搀 眀椀搀琀栀 㴀 ∀㄀  ∀㸀㰀⼀琀搀㸀 faltung ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ort ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 zeit ਀㰀琀搀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀ ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀椀㸀礀 㴀 㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㄀∀㸀⬀㰢⼀昀漀渀琀㸀 礀⠀쐀⤃ 搀쐀 㴀 㰀⼀椀㸀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㌀∀㸀⬀⬢㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀琀搀㸀 { f(τ-t) s(t) } dt dτ = ਀ ∫∫਀㰀琀搀㸀 笀 昀⠀琀⤀ 猀⠀쐀⤃ 紀 搀琀 搀쐀 㴀 㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀琀搀 愀氀椀最渀㴀∀挀攀渀琀攀爀∀㸀㰀昀漀渀琀 猀椀稀攀㴀∀⬀㌀∀㸀⬀⬢㰢⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀琀搀㸀 { f(τ) s(t) } dt dτ (Ortsfunktionen).   (Eqn.34)਀㰀⼀琀爀㸀 ਀㰀⼀戀氀漀挀欀焀甀漀琀攀㸀

਀ Man beachte, wie über den Ort ਀⠀㰀椀㸀쐀 㴀 爀⼀瘀㰀⼀椀㸀⤀ 甀渀搀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 娀攀椀琀 㰀椀㸀琀㰀⼀椀㸀 椀渀琀攀最爀椀攀爀琀 眀甀爀搀攀⸀ 圀攀椀琀攀爀攀 䘀漀爀洀攀渀 氀椀攀猀猀攀渀 猀椀挀栀 椀渀 䄀渀愀氀漀最椀攀 戀椀氀搀攀渀Ⰰ 稀⸀戀⸀ 洀椀琀 搀攀洀 匀愀琀稀 瘀漀渀 䘀甀戀椀渀椀ⴀ吀漀渀攀氀氀椀⸀  ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀攀爀最㸀㰀⼀愀㸀

Interpretation

਀ ਀㰀漀氀㸀 ਀㰀氀椀㸀 Als physikalischer (nervlicher) Operator besitzt ein Faltungsnetzwerk gleichzeitig Orts- und Zeitbezug. ਀

  • ਀䔀椀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀昀椀氀琀攀爀 氀�琀 猀椀挀栀 愀甀猀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀爀 匀椀挀栀琀 愀氀猀 刀愀甀洀ⴀ娀攀椀琀ⴀ一攀琀稀眀攀爀欀 甀渀搀 愀氀猀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀ⴀ一攀琀稀眀攀爀欀 ⠀䤀一⤀Ⰰ 渀椀挀栀琀 愀戀攀爀 愀氀猀 攀椀渀稀攀氀渀攀爀 一攀琀稀眀攀爀欀ⴀ䬀渀漀琀攀渀 攀椀渀攀猀 䤀一 戀攀猀挀栀爀攀椀戀攀渀⸀  ਀㰀⼀瀀㸀㰀氀椀㸀 Somit kann die Faltung in einem Interferenznetz nicht als Elementaroperation auf einen Knoten abgebildet werden; oder in nervlicher Entsprechung: es sind Haufen von Neuronen erforderlich, um eine Frequenz- oder Code- selektive Leistung zu vollbringen.਀

  • ਀䜀攀攀椀最渀攀琀攀 䬀漀渀瘀攀爀最攀渀稀戀攀搀椀渀最甀渀最攀渀 甀渀搀 栀椀渀爀攀椀挀栀攀渀搀 氀愀渀最攀 一甀氀氀瀀甀昀昀攀爀 愀洀 䄀渀昀愀渀最 甀渀搀 䔀渀搀攀 搀攀爀 娀攀椀琀昀甀渀欀琀椀漀渀攀渀 瘀漀爀愀甀猀最攀猀攀琀稀琀Ⰰ 
    - ist die Summe über die Faltungssummen (ist das Integral über die Faltungsintegrale)਀㰀戀爀㸀ⴀ 最氀攀椀挀栀 搀攀爀 匀甀洀洀攀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 伀爀琀猀猀甀洀洀攀渀 ⠀搀攀洀 䤀渀琀攀最爀愀氀 ﰀ戀攀爀 搀椀攀 伀爀琀猀椀渀琀攀最爀愀氀攀 ⠀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀椀渀琀攀最爀愀氀攀⤀⤀
    - gleich der Summe über die Zeitsummen (dem Integral über die Zeitintegrale).਀

  • ਀圀椀爀搀 搀椀攀 吀攀椀氀甀渀最 搀攀爀 伀爀琀猀欀渀漀琀攀渀 甀渀搀 搀椀攀 吀攀椀氀甀渀最 搀攀爀 娀攀椀琀欀渀漀琀攀渀 瘀攀爀瘀椀攀氀昀愀挀栀琀Ⰰ 戀氀攀椀戀攀渀 䘀愀氀琀甀渀最猀攀椀最攀渀猀挀栀愀昀琀攀渀 甀渀愀渀最攀琀愀猀琀攀琀⸀ 倀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀攀 䜀爀甀渀搀氀愀最攀 搀攀爀 瀀栀礀猀椀欀愀氀椀猀挀栀 愀甀昀最攀昀愀猀猀琀攀渀 䘀愀氀琀甀渀最 猀琀攀氀氀琀 攀椀渀攀 洀攀搀椀愀氀攀 䰀攀椀琀最猀挀栀眀椀渀搀椀最欀攀椀琀 漀搀攀爀 搀攀爀攀渀 䘀甀渀欀琀椀漀渀 搀愀爀⸀ ਀㰀⼀瀀㸀㰀氀椀㸀 Da es in Interferenznetzen verboten ist, nichtlokal über mehrere Orte zu rechnen, schiede die Faltung als Systemtheorie der Interferenznetze eigentlich aus. Wenn wir uns aber den Ergebnisort genauer ansehen, bemerken wir, das bei der Faltung die Addition der Teilprodukte ohne Verzögerung erfolgt (verzögert wird nur die erste Zeitfunktion). Folglich wirkt das Faltungsergebnis nur an einem einzelnen Knoten (Fußknoten in Bild 2). Sie ist damit in Interferenznetzen in der Form nach ਀㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⌀䌀漀搀攀猀攀氀攀欀琀椀漀渀∀㸀嬀㘀崀㰀⼀愀㸀  zulässig. ਀

  • ਀䤀渀琀攀爀攀猀猀椀攀爀琀 搀攀爀 娀攀椀琀瘀攀爀氀愀甀昀 搀攀爀 䘀愀氀琀甀渀最Ⰰ 猀漀 猀椀渀搀 䘀愀氀琀甀渀最猀猀甀洀洀攀渀 渀椀挀栀琀 搀甀爀挀栀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 攀爀猀攀琀稀戀愀爀Ⰰ 搀愀 渀甀爀 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 稀攀椀琀爀椀挀栀琀椀最攀 匀甀洀洀攀渀 氀椀攀昀攀爀琀 ⠀䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀猀甀洀洀攀渀 猀椀渀搀 伀爀琀猀猀甀洀洀攀渀Ⰰ 猀椀攀栀攀 稀甀洀 嘀攀爀最氀攀椀挀栀 搀椀攀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀昀愀氀琀甀渀最 渀愀挀栀  [10]਀⤀⸀  ਀㰀⼀瀀㸀㰀氀椀㸀 Interferenznetzwerke in der Art nach [6] sind als Faltungsnetze geeignet, Frequenz- und Codeselektiv zu wirken.਀

  • ਀䴀椀琀 搀攀洀 䐀漀瀀瀀攀氀椀渀琀攀最爀愀氀 欀愀渀渀 搀愀猀 䘀甀渀搀愀洀攀渀琀 搀攀爀 匀礀猀琀攀洀琀栀攀漀爀椀攀 眀椀攀 搀攀爀 搀椀最椀琀愀氀攀渀 匀椀最渀愀氀瘀攀爀愀爀戀攀椀琀甀渀最 ⴀ 搀椀攀 䘀愀氀琀甀渀最 漀搀攀爀 搀愀猀 䘀愀氀琀甀渀最猀椀渀琀攀最爀愀氀 ⴀ 椀渀 搀愀猀 䜀攀戀椀攀琀 搀攀爀 䤀渀琀攀爀昀攀爀攀渀稀渀攀琀稀眀攀爀欀攀 攀椀渀最攀漀爀搀渀攀琀 眀攀爀搀攀渀⸀ 䐀愀洀椀琀 爀ﰀ挀欀攀渀 愀渀愀氀礀琀椀猀挀栀攀 䈀攀猀挀栀爀攀椀戀甀渀最攀渀 昀ﰀ爀 ∀䠀爀攀渀∀ 甀渀搀 ∀匀攀栀攀渀∀ 攀渀最攀爀 稀甀猀愀洀洀攀渀⸀  ਀㰀⼀瀀㸀㰀氀椀㸀 Während das Interferenzintegral an jedem Knoten eines Interferenznetzwerks anzutreffen ist, bedient das Faltungsintegral ein spezifisches Netzwerk.਀

    ਀ ਀㰀愀 渀愀洀攀㴀搀愀渀欀㸀㰀⼀愀㸀

    Danksagung

    ਀

    ਀䠀攀爀稀氀椀挀栀攀渀 䐀愀渀欀 愀渀 䴀漀琀椀瘀愀琀漀爀攀渀 甀渀搀 䴀椀琀搀攀渀欀攀爀㨀 䐀愀渀欀 愀渀 倀爀漀昀⸀ 䐀爀⸀ 圀漀氀昀最愀渀最 䠀愀氀愀渀最 ⠀䘀唀 䠀愀最攀渀⤀ 昀ﰀ爀 攀椀渀攀 一甀搀攀氀爀漀氀氀攀⸀ 䐀愀渀欀 愀渀 倀爀漀昀⸀ 䐀爀⸀ 䠀攀爀眀椀最 唀渀最攀爀 ⠀䘀唀 䠀愀最攀渀⤀ 昀ﰀ爀 䤀渀猀瀀椀爀愀琀椀漀渀 甀渀搀 攀椀渀 ∀䄀渀猀挀栀椀攀戀攀渀∀ 搀攀爀 唀渀琀攀爀猀甀挀栀甀渀最 椀渀 䈀愀渀最欀漀欀 ㈀ ㄀㄀⸀ 䐀愀渀欀 愀渀 䐀爀⸀ 䘀爀椀攀搀爀椀挀栀 䈀氀甀琀渀攀爀 ⠀匀礀渀漀琀攀挀 䜀攀礀攀爀⤀ 甀渀搀 䐀爀⸀ 圀漀氀昀最愀渀最 䠀愀爀搀攀爀 ⠀䜀䘀愀䤀 䈀攀爀氀椀渀⤀ 昀ﰀ爀 昀愀挀栀氀椀挀栀攀 䤀渀猀瀀椀爀愀琀椀漀渀攀渀⸀ 䴀攀椀渀 戀攀猀漀渀搀攀爀攀爀 䐀愀渀欀 最椀氀琀 倀爀漀昀⸀ 䐀爀⸀ 䄀氀昀爀攀搀 䘀攀琀琀眀攀椀猀 ⠀攀栀攀洀愀氀猀 唀渀椀 䈀漀挀栀甀洀⤀ 昀ﰀ爀 搀攀渀 䈀攀眀攀椀猀愀渀猀愀琀稀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀⌀䘀攀琀琀眀攀椀猀∀㸀嬀㠀崀㰀⼀愀㸀 ⸀ 

    ਀䜀⸀ 䠀攀椀渀稀㰀戀爀㸀 Berlin, den 11. August 2011
    ਀㰀⼀瀀㸀 ਀㰀戀爀㸀㰀戀爀㸀㰀栀爀㸀㰀戀爀㸀㰀戀爀㸀 ਀ ਀ ਀㰀栀㌀㸀儀甀攀氀氀攀渀㰀⼀栀㌀㸀 ਀ ਀㰀⼀愀㸀
    ਀ ਀㰀⼀昀漀渀琀㸀 ਀㰀⼀昀漀渀琀㸀



    ਀ ਀䤀洀瀀爀攀猀猀甀洀 ਀

    ਀䘀椀氀攀 挀爀攀愀琀攀搀 ㈀ ㄀㄀⼀ 㤀⼀㄀㄀㬀 洀漀搀椀昀椀攀搀 ㈀ ㄀㄀⼀㄀㄀㬀 䴀漀搀椀昀椀欀愀琀椀漀渀攀渀 ㈀ ㄀㌀⼀ 㘀
    ਀䈀愀挀欀㨀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀椀渀搀攀砀⸀栀琀洀∀㸀眀眀眀⸀最栀攀椀渀稀⸀搀攀⼀瀀甀戀氀椀挀愀琀椀漀渀猀⼀愀渀椀洀愀琀椀漀渀猀⼀椀渀搀攀砀⸀栀琀洀㰀⼀愀㸀
    ਀䠀漀洀攀瀀愀最攀㨀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀栀琀琀瀀㨀⼀⼀眀眀眀⸀最栀攀椀渀稀⸀搀攀∀㸀眀眀眀⸀最栀攀椀渀稀⸀搀攀㰀⼀愀㸀
    ਀刀攀洀愀爀欀猀 琀漀 㰀愀 栀爀攀昀㴀∀洀愀椀氀琀漀㨀椀渀昀漀䀀最栀攀椀渀稀⸀搀攀∀㸀椀渀昀漀䀀最栀攀椀渀稀⸀搀攀㰀⼀愀㸀

    ਀㰀⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀昀漀渀琀㸀㰀⼀昀漀渀琀㸀

    ਀㰀戀爀㸀㰀戀爀㸀 ਀ ਀㰀⼀琀搀㸀 ਀㰀⼀琀愀戀氀攀㸀 ਀ ਀㰀⼀昀漀渀琀㸀
  • ਀㰀⼀戀漀搀礀㸀 ਀ �