Mathematik ist eine experimentelle Wissenschaft,
Definitionen kommen nicht zuerst, sondern später.
Oliver Heaviside
Der Autor wurde von Verlagen gefragt, ob er die Grundlagen der Akustischen Photo- und Kinematografie, wie auch die der Wellenausbreitungen und der Interferenzsysteeme nicht in Buchform veröffentlichen wolle. Es stellte sich aber immer wieder die Frage, wie man die Mathematik von bewegten Wellenausbreitungen in Buchform darstellen kann. Der Autor fand darauf keine Antwort: Die Darstellung in kleinen Filmen (gif oder mp4) im Internet erscheint als die einzig sinnvolle Möglichkeit. Auch wird die Gemeinfreiheit für Forschung und Lehre nicht eingeschränkt.
Bekanntlich haben Nervenfasern extrem unterschiedliche Leitgeschwindigkeiten. Um Welleninterferenz überhaupt vermitteln zu können, werden in folgenden Demos Wellen in homogenen Räumen mit konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit vorgestellt. Bei den ein- und zweidimensionalen Wellen liegt jeweils der Scilab-Code (v.3.1.1, 1989-2005, winXP) als *.sce unter jedem Film (*.gif), mit dem der Film generiert wurde. Bei den "Beziehungen zwischen Faltungs- und Interferenzintegral als Verbindung zwischen Hören und Sehen" werden wir die Frage beantworten, ob die Faltung für das Verständnis von Interferenznetzen hilfreich sein kann. Animationen von Nervennetzen sind auch als (PPT) verfügbar.
Eindimensionale Wellen (german)
Zweidimensionale Wellen (german)
Animationen zu Nervennetzen (english)
Faltungs- und Interferenzintegrale (german)
Interferenznetze, wie nervliche Netzwerke verbieten die verzögerungsfreie Ausbreitung von Information. Sie können nur funktionieren, wenn jede Ausbreitung und Verarbeitung von Information Zeit benötigt. Dem Laien mag dies absurd erscheinen, aber der Experte ahnt wohl, daß damit alle einfachen oder abstrakten Ansätze von Zustandsmaschinen über Boolsche Algebra und Neural Networks nicht weiterhelfen. Interferenznetze lassen sich also (im Moment) eher kaum mathemathisch abstrakt, sondern nur als physikalisch orientierte Wellenmodelle beschreiben.
Fragen wir nach der Idee hinter den Interferenznetzen, dann ist dies die Entdeckung, daß man Information auf zweierlei Art übermitteln kann: Zum einen mit einer Taktflanke durch Synchronisation mit einem Takt oder einer Uhr (clock), so wie unsere digitale Welt im Internet Billiarden Bit täglich überträgt.
Zum andern aber können wir Information auch ohne Takt als Pulswelle übertragen. Die Welle darf dabei solange im Netzwerk herumlaufen, bis sie sich selbst trifft: erst dort hat sie ihr Ziel erreicht. Erst dort wird sie zur Information, wo sie sich wiedertrifft und ein Neuron erregt wird.
Ähnlich wie das folgend beschriebene eindimensionale Netzwerk verhalten sich andere Interferenznetzwerke (IN). Allen gemein ist, daß mehrere Wellen gleichzeitig (synchrotop) eintreffen müssen, um einen auslösenden Schwellwert zu überbieten. Erst die Überschreitung des Schwellwertes sorgt für Weiterverarbeitung im Netz. Je mehr Wellen gleichzeitig über einem Ort zusammenschlagen, desto höher ist die Erregungswahrscheinlichkeit genau an diesem Ort.
So können wir uns die seltenen Monsterwellen im Ozean als zufällige Interferenz mehrerer Wellen vorstellen, die aus verschiedensten Richtungen kommen. Nur am Ort der zeitgleichen Begegnung (Interferenz) vieler großer Wellen entsteht aus dem Nichts eine Monsterwelle. Befindet sich zufällig ein Schiff an genau diesem Ort, wird dieses Schiff zertrümmert. Und damit unser Schiff zertrümmert werden kann, ist ein Schwellwert in der Wellenhöhe zu erreichen.
Wir finden solche Schwellwerte im Nerv als Erregungsschwelle.
Wird die Pulsdauer kurz im Vergleich zur Wellenlänge (lambda = vT) der Signalausbreitung, beginnen IN, Zieladressen von Informationen über Verzögerungszeiten zu definieren. Als Wettlaufschaltungen entwickeln sie eine Eigendynamik, die im Moment noch fernab jeder bekannten Systemtheorie steht. Nicht Leitbahnen bestimmen in Ihnen das Ziel einer Information, sondern Relationen von Verzögerungen (Delays) und Orten.
Technisch stehen damit Netzwerke zur Verfügung, die nahezu ausfallgeschützt sind. Gleich welche Komponente des Netzes ausfällt, die Funktion des Gesamtnetzes wird nicht grundsätzlich gestört. Man denke dabei an 100 Milliarden Nervenzellen des Menschen, deren jede im Durchschnitt sieben Jahre lebt. Obwohl dann im Schnitt alle 2,5 Millisekunden eine Nervenzelle ausfällt, funktioniert unser Nervensystem zehnmal so lange, wie jede der Nervenzellen. Ein Computer oder Smartphon fällt hingegen aus, sobald nur ein einziger seiner aber Millionen Transistoren ausgefallen ist.
Der eindimensionalen Zeitfunktion des Ortes steht ein n-dimensionales Wellenfeld gegenüber. IN sind im Zeitbereich wie im Ortsbereich angesiedelt. Wellenfeldberechnungen finden im Zeitbereich statt.
Wellen können grundsätzlich nicht-periodisch oder periodisch sein. Wellen können vorwärts oder rückwärts laufen. Da bei IN die Zeit der Bewegungsparameter der Welle ist, beschäftigen wir uns folglich bei der Rekonstruktion (Akustische Kamera) auch mit (nicht kausaler) Zeit- und Delay- Inversion. Hier kommt einiges in Bewegung und auf den Leser zu.
Grundidee der IN ist es nicht, nach Lösungen von Wellengleichungen zu suchen, sondern Zeitfunktionen (Wellen) durch den Raum zu bewegen, um nach dem Ort des Zusammentreffens der Partialwellen zu fragen.
Dort, wo sich die meisten Wellen (zeitgleich) begegnen, entsteht die größte Wirkung (Synchrotopie).
Genau an diesem Ort besitzt das Interferenzintegral ein Maximum. Eine Schlüsselrolle spielen folglich Raum-Zeit-Proportionen sowie Delays der Leitbahnen.
Vornehmliche Zielrichtung der Arbeiten sind Nervennetze, für deren langsam fließenden Spikes die Theorie der Interferenznetzwerke entwickelt wurde. Die akustische Photo- und Kinematographie (akustische Kamera) entstand als Abfallprodukt, sie war eine erste Applikation eines einfachsten Interferenznetzwerks.
Das Gebiet der Interferenznetze (IN) ist heute erst drei Jahrzehnte alt. Einiges muß in der Abstraktion von Optik, Akustik, Nervennetz, zellularem Automaten, ANN, Faltungscode, GPS oder Radar im Zeitbereich neu gedacht werden. Bildungen neuer Begriffe sind unvermeidlich (Interferenzintegral, Raumfunktion, Synchrotopie, Selbstinterferenz, Fremdinterferenz), benötigen aber noch Reifezeit. Andere Begriffe stehen in Wandlung. So sind die Begriffe "Welle" oder "Interferenz" in der klassischen Physik von Periodizität vereinnahmt, in Interferenzsystemen hingegen ist Zeitbezug das Maß der Dinge. Periodizität wird hier eher als Sonderfall wahrgenommen, um z.B. mit einer FFT schneller falten zu können.
Diese Seite zeigt einige Animationen und Filme auf homogenen (1-dim., 2-dim. Netzen/Räumen) zum Verständnis elementarer Begriffe der Wellenwelt. Sie dient als Illustration zu Veröffentlichungen im Puplikationsverzeichnis.
Dort findet man Einführungen z.B. unter folgenden Links:
Faltungsoperationen dienen der Signalfilterung. (Mit dem Begriff der Faltung ist eigentlich meist die Faltungssumme oder das Faltungsintegral gemeint). Man denke an FIR- oder IIR-Filter zur Realisierung von Hoch- oder Tiefpaßfiltern, siehe verlinkte Scilab-Beispiele.
Hier soll das Wesen des Faltungsintegrals als Verbindung zwischen Hören und Sehen, zwischen Zeit und Ort aus der Sicht der Interferenznetze mit einer Javascript-Animation analysiert werden. Man kann interaktiv eigene Zeitfunktionen eingeben.
Nun ist die mathematische Faltung für lediglich zwei Zeitfunktionen definiert. Sie stellt in Interferenznetzen keine Elementaroperation dar. Ein Versuch der Erweiterung des Faltungsbegriffes auf die Interferenz von mehr als zwei Zeitfunktionen (Name 'Interferenzfaltung' in NI93) wurde wieder verworfen. Das Faltungsintegral ist in der Mathematik zu speziell, es spielt eine tragende Rolle.
Die Mathematik der Faltung baut auf Verzögerungseinheiten [T] oder [z-1] vom Typ 'integer' auf, im Nervennetzen gibt es diese Einheit nicht, Verzögerungen haben eher den Datentyp 'float'. Auch werden bei der Faltung Ort und Zeit gemixt, bei Interferenz nicht. Schauen wir uns deshalb die mathematische Faltungsoperation etwas näher an, um deren Einordnung in das Theoriegebäude der Interferenznetzwerke zu überprüfen.
Um das Prinzip von Selbstinterferenz und Fremdinterferenz besser zu verstehen, können wir ein Spiel spielen. Dazu stellen sich mehrere Personen im Kreis auf. Jeder faßt die Hände der Nachbarn. Durch einen kurzen Handdruck mit der rechten und der linken Hand kann ich meinem rechten oder meinem linken Nachbarn einen Impuls senden, von dem die anderen Spieler nichts merken.
Die Spielregeln sind einfach:
Der Getroffene darf als nächster nach links und rechts Impulse aussenden. Über deren Zeitverzögerung kann er bestimmen, wen er im Kreis adressieren will.
Wir sehen, daß bei diesem Spiel die Information dort entsteht, wo sich die rechtsherum und die linksherum laufende Welle treffen. Wir sprechen dort vom Ort der Interferenz. Wir wollen die Fälle a) und b) als Selbstinterferenz einer Welle mit sich selbst bezeichnen.
Erweitern wir die Spielregel 1) darauf, daß man auch kurz hintereinander mehrfach drücken darf, so werden sich mehrere Personen getroffen fühlen. Hier sprechen wir von Fremdinterferenz.
Noch interessanter wird es, wenn mehrere Spieler im Kreis gleichzeitig "senden": dann dauert es nicht mehr lange, bis Kommunikation unmöglich wird und Chaos entsteht - wir sprechen dann von Interferenz-Überlauf. Zusätzlich haben wir jetzt eine Refraktärzeit einzuführen. Nachdem ich einen Puls gesendet habe, habe ich eine kleine Pause zu machen, in der ich nicht senden darf.
Analysieren wir dieses Spiel kritisch, dann fällt auf, daß die sendende Person eigentlich nur beide Hände gleichzeitig drücken dürfte - sie symbolisiert ja ein pulssendendes Neuron. Die Konsequenz wäre allerdings, daß sie nur ihr Gegenüber im Kreis adressieren kann.
Ein weiterer Makel besteht darin, daß die Personen, die die Information weitergeben, nicht wie Neuronen agieren: Sie dürften eigentlich nur pulsen, wenn beide Hände gleichzeitig gedrückt werden.
Wie wäre nun dieses Spiel zu erweitern, um zu einer irgendwie sinnvollen Informationsverarbeitung zu kommen?
Wahrscheinlich brauchen wir Neuronentypen mit Synapsen verschiedener Gewichte. Zunächst vielleicht vom AND- und vom OR-Typ. Der OR-Typ darf weiterleiten, wenn nur eine Hand gedrückt wird, der AND-Typ darf erst feuern, wenn beide Hände gleichzeitig gedrückt wurden. Damit ließe sich bereits der einfachste Interferenzkreis der Titelseite des Buches "Neuronale Interferenzen" (NI93) immitieren.
Dann gäbe es ja auch noch hemmende Synapsen an Neuronen...
Oder wir könnten jedes Neuron mit vier Synapsen (zwei Hände und zwei Füße) ausstatten. Wie aber wäre das sendende Axon zu gestalten? Man probiere es aus.
Denken wir an die verschiedensten Neuronen- und Synapsentypen und deren Verschaltungsmöglichkeiten, dann wird schnell bewußt, daß das Nervensystem viel komplexere Möglichkeiten hat, als wir ahnen. Stellt sich nur noch die Frage: Welches ist die dahinter stehende Schaltungstechnik, nach der die Evolution Strukturen schuf, die lernen und Intelligenz erzeugen können?
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